1樓：YDkey
把這倆火柴盒取名字，乙個是叫甲，乙個是叫乙，我們所要求的概率是乙恰有m根火柴的概率是多少。
先看一共能抽多少次，也就是抽火柴棍兒這事兒，最多能抽多少次才會發現我沒火柴了。
肯定是，我把兩盒火柴都抽完，再抽一次才發現沒了的時候，才是最多的抽取次數。
因為有可能抽完一盒之後，湊巧兒其它的情況全是抽的另外一盒，也不是沒有可能。
所以此時要注意一下，原題目給出的假設：「我們是在拿出來火柴盒以後，才發現是個空盒兒」，並不是我們拿完最後一根兒之後發現這是個空盒兒，這是有區別的，在於我抽完最後一根之後，不知道這是個空盒，又把盒給放回去了，我覺得很有可能在這裡產生了誤導。
繼而發現，一共最多抽 次。兩盒都沒了，我拿出來甲盒，發現沒有啦，那乙盒就是恰好剩0根。
但是我們在這裡能夠發現乙個時間節點，就是我們發現乙盒恰好剩m根兒的前提是，得先讓甲盒沒了。
那麼就先看甲啥時候沒了。
甲有n根兒，假設前n次一次沒抽乙，那麼最少也得抽n次，才能把甲抽沒。
也就是我抽火柴棍兒這個事兒，想要讓題設條件發生，最起碼也得有抽n次這個動作。
但肯定我不只是抽甲，我還抽乙了。
如果乙真的就一次沒被抽到，那麼就是 次就有可能完事兒，乙抽到一次，抽棍兒這事兒就得最少是 次才能搞定，還是那個理由，想要完事兒，甲不能少於n次，乙抽了一次，整體想要達到目標就得補上。
所以總結出，想要讓甲盒都抽完，最起碼也得第 才能搞定。
這時候再來看乙發生啥事了，這個 就是「在假設次抽完後」對於n次不夠的整體需要補的次數，也就是乙被抽的次數。
r是乙個固定的數，有可能是0，有可能是1、2、3、...m-n，它直接影響我們到底什麼時候讓甲被抽完，r越小，整體抽棍兒的次數越少，r越大，整體次數越多。
但是無論什麼時候被抽完，我們總結的這個公式 指定是沒問題的，它代表最起碼甲什麼時候被抽完，而甲什麼時候被抽完的這句話又代表什麼呢？
代表 次抽取的這最後一下，是抽的甲。
我們想要求這麼一件事情，乙在r次的所有抽取情況，它在包括甲沒了的n次之中，和那n次的每一次抽取是怎麼的乙個組合方式，因為r是乙抽取的，m是乙抽取後剩下的，知道r的抽取組合情況或者次數，就代表知道了m的情況。
但是r是從中得到的嗎？不是，因為多乙個，需要減去乙個，假設次甲被抽沒，那麼最後一次抽取一定是甲。
減去一次就好了， 這抽的最後一下有可能是乙，也有可能是甲，我們假設 次甲抽完，就代表不到 次就一定沒抽完，r是乙的次數，在這兒我們不要那甲的最後一下，因為 這個數字產生並不是因為抽的甲那最後一下，有可能是前很多下，很多次數組合方式，但是我們肯定的是， 這最後一下，一定抽的是甲！所以甲那最後一下就是多餘的，想要求r的所有可能的組合方式，就得把「肯定的情況剔除掉」，這才知道乙的準確次數組合是多少。
「從個事件中，取 個事件的抽取方式」，就是在甲抽完最後一根之前，乙的所有的抽取方式 。
不同的抽法，也就代表了m的不同剩餘方式。
前面 盒抽完了後，往後的全部抽出乙盒，從n根兒裡面，把r根兒減去，再把m個剩的減去，乙盒也全部抽完了。
此時我們假設甲盒已經沒有了，但是還沒有發現，從整體的 次開始，令r一直抽到最大化，即 次，在 時再次把甲盒取出來，這才「發現」甲盒空了，再取看乙盒還剩的數量正好就是m根火柴棍兒。
這m根火柴可以隨意抽取，既可以從甲盒裡面抽，也可以從乙盒裡面抽，如果從已經沒了的甲盒裡面抽，也就發現甲沒了，所以這m根火柴還是有可能從甲中抽取，二分之一的概率，每次抽都是有兩種選擇，抽m次，所以就是 個方式，乙一共有 ，是有限制的抽取，m是隨意抽，用 乘以 就等於乙在r固定下來的抽取方式，也是在某乙個r上，甲真的發現沒了的抽取方式。
為什麼是固定下來了呢？因為剛才乘了 個方式，這裡面包括可能會抽到甲，一旦抽到，就結束了，而一旦結束了，這就只是甲被發現沒了前的某一種情況，所以想要把所有的情況找到，需要把r的全部情況找到。
這就是甲被發現的所有情況
反過來，把全部都對調一下，之前全部都是針對甲沒了，乙剩下來研究，但是還有可能是乙被發現，甲剩m。
即 。再除以全部，不分甲乙的所有情況 ，就是這道題的概率。
這種思路最關鍵的乙個步驟是，乙在甲被發現沒了之前，和那n次的所有組合次數，以及如何讓甲產生被發現的可能。
2樓：毛仁傑
先吐槽一下，題解就放在那裡，你既不指出你覺得有問題的地方，又不把自己的不同解法給出來讓別人檢查/糾錯，如果題解本來就是對的，你讓別人怎麼答......把題解複製一遍麼，知乎又不是知道
答：題解是對的。
這是一道古典概率題，所以要尤其注重等概率sampling這件事，要進行恰當的思路轉換。
「第一次發現抽出是空盒時，另一盒有m支火柴的概率」，乍看有點像是條件概率，但實際上你一直抽總是會在某個時刻抽出空盒的。一直抽直到「第一次空盒」發生時，「另乙個」盒子的火柴數M可能是0, 1, 2, ..., n。
（特別注意由於M是不定的，抽樣數2n-M+1實際上是變數）
題目的原意是M=m的概率。(m是定量)
這個時候就要轉換抽樣思路，把問題改編成「不論如何一直抽2n-m+1次，剛好最後一次發生『第一次抽出空盒』事件的概率」。
總共抽2n-m+1次，如果你提前抽到空盒，那時另一盒的數目M自然比m大；如果一直沒抽到過空盒，那麼放回後兩盒剩下總共才m-1支，到時M自然小於m；剛好2n-m+1次時首次抽到空盒的話，另乙個盒必然是m。
所以兩者是等價的。
那麼問題就轉換為簡單的經典概率問題：
事件是 "隨機抽樣(2n-m)次，A盒抽到n次，B盒抽到(n-m)次" 且 "最後一次抽到A盒"; 最後考慮AB盒互換；得解
這道題怎麼講解？
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求詳細講解。拜託了？
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