1樓：sumeragi693
因為對任意乙個內切於完全四邊形的圓錐曲線，總可以通過射影變換使其變成單位圓，而射影變換是保持共線的性質的，所以只要證明單位圓的情況即可。以及既然你只問圓錐曲線的情況，那我就預設已經知道了完全四邊形3條對頂線的中點共線，所以我只選擇其中兩條對頂線中點連線來證。
在這裡給乙個利用複數證明的方法，前提是先知道復平面內一條直線可以寫成 ，其中 是復常數， 是實常數。
把單位圓放到復平面上，使得圓心與復平面的原點重合。四邊形 是單位圓的任意乙個外切四邊形，各個邊上的切點設為 ，對應複數 。
為了說明每條邊怎樣用切點表示出來，先回到一般的直角座標系中。單位圓上一點 處的切線方程為 ，設它在復平面內可以表示為 的形式，其中 。
把左邊展開，整理得 ，比較係數得 。因此，若設 是復平面內單位圓上的一點，那麼在這一點處的切線方程為 。
所以可以得到完全四邊形 的四邊方程分別是：
聯立直線 ，可以解得 點對應的複數為 。注意， 均在單位圓上，而單位圓的方程除了寫成 以外，還可以寫成 （令 即證），所以 。同理求出其他頂點對應的複數 。
設 中點為 ，那麼 。
顯然 時 重合， 當然在直線 上，現假設 ，只要證明 為實數即可。這是因為兩個複數相除，商的幅角等於這兩個複數的幅角之差。當 三點共線時，有 或者 ，於是 或 ，這又等價於 為實數。
乙個複數是實數的充要條件是虛部為0，或者這個複數等於它的共軛，即 。根據這個思路，分別計算 和 。
，而根據共軛複數的四則運算法則， 。
所以 是實數，所以 共線。
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