1樓：唐龍
在定義了乙個單位長度的前提下，所有長度為有理數以及帶有限次二次根號的長度都可以使用標準尺規作圖畫出來。
比如： ， ， ， ，， …………
首先你需要清楚一件事，知道乙個角的角度，是可以求出來它的三角函式值的，具體方式就是把這個角的頂點放到單位圓的圓心然後作各種垂線段。
三等分角需要用到三倍角公式：
也就是：
如果我們把 替換成x， 替換成t，有：
那麼問題就變成了在已知t的情況下，能不能畫出來滿足上述等式的長度為x的線段。
在 時，有 ，代入上式，有：
或眾所周知，余弦值為-1的角度有很多，它們各自的三等分角的余弦值就只有上面提到的兩種可能。
對於180°而言，其三等分角在第一象限，所以其餘弦值為正值，也就是 。
而 是有理數，所以三等分180度角可做。
那如果t為其他值呢？x就不一定是有理數了，所以並不是說三等分角不可做，而是不可能三等分任意角。
其他的像倍立方問題，就相當於畫乙個長度為 的線段，所以不可做。
化圓為方問題，就相當於畫乙個長度為 的線段，但是 本身就是超越數，所以不可做。
當年高斯證明了正十七邊形尺規可作，其實就是找到了 的具體值。
如何通過尺規作圖作出一條與一已知圓周長精確相等的線段？
作出線段使其長度為 作出與圓周等長的直線 及 化圓為方 兩個問題，為同一類問題，正如Snorri所說，為超越數，無法尺規作出。關於這個問題的作圖發展及證明史，可參看 著名幾何問題及其解法 尺規作圖的歷史 B.波爾德著，鄭元祿譯 其中有為超越數證明的步驟 先由Hermite定理得到e為超越數 再結合L...
將平面的 尺規作圖 擴充套件成立體的 板球作圖 ，能否解釋 三等分任意平面角 與 倍立方 問題？
平面上的直線和空間中的平面就是一次方程 平面上的圓和空間中的球就是二次方程，而且是特殊的二次方程，係數有特殊要求。沒什麼本質區別。三等分角需要解三次方程。拋物線雖然是二次的，但係數可以不一樣，多個拋物線可以解三次方程。 板球作圖不能解決倍立方體問題。倍立方體問題就是已知1單位長度，求2 1 3 倍的...
是否能用尺規作圖做出過三角形內給定的一點的直線平分三角形面積？
PeaucellieRay 拋個磚頭。如果在三角形上的話就很簡單。我給個我覺得複雜的做法 其實搞乙個中點等積變形就能做啦！我只是在這裡搞事情 假設已知的是F，要作的是MF 把AC，BC都轉移到對面，得到D，G，顯然BDCG共圓了，作這個圓，於是AB AC就是A對於H的冪。以AH為直徑作圓，交圓H於I...