1樓：甜甜甜菜
理論上從任意解析函式的Taylor 展開式出發肯定可以證明它的所有性質，因為Taylor 展開式包含了該函式的所有資訊。
但是由於Taylor 展開式的形式十分晦澀，直接用來證明往往比較困難。此時也許可以先建立一些容易得到的結論再間接證明想要的結論。對於本題目，限定 ，定義 ， ，假定除此以外不知道有關 的任何結論，也不使用相關函式/常數如 和 。
先證明以下事實：
(1) 恒等式
證明：作代換 ，得
類似地相加即可
(2)證明：(3) 和角公式
證明：顯然， 和 的冪之和總為奇數。作代換 ，得到
另一方面，
與 一致。
(4)證明：顯然
現在我們斷定存在正實數 0" eeimg="1"/>是 的零點.
假設不然，那麼由(4) 和連續性 在 上恆大於0，由性質 (2) 和 (4) 在 上單調增且恆大於0。任取 0" eeimg="1"/>，則 在 上恆大於 ，導致 無界，與 (1) 矛盾。
由和角公式， 是 的零點，再由 (1)， 。於是 。無論哪種情況，均有 ，這就找到了 的乙個週期， 類似。
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