1樓：朱老忠
這個問題涉及到極限的概念，很多人是難以理解的。比如0.99999…這個無限迴圈等於1，網上查一下，很多人認為比1要小，不能相等。
初中講到這題，總是用1/3形成乙個迴圈小數，再乘以3得到0.99999…，用來說明等於1。這樣講的結果總是不能服人，讓人覺得是乙個「特例」——怎麼一定要1/3乘以3？
就沒有第二個例子嗎？
其實這個問題小學三年級的算術就完全可以證明，用的就是除法的豎式。3除以3的豎式，我們暫不填上1，故意來個0.9，那麼就有餘數要添0繼續，這樣就會形成乙個0.99999…
問一下學生：能到頭嗎？當然不能。永遠是這樣下去。而且和3/3一樣，是完全等於1的。
那麼把3換成4，也照此辦理。怎麼樣？還是會形成乙個0.99999…
再讓孩子們換成5、6、2，甚至1，這裡就已經沒有任何特例可言了。
如果是中學生，就可進一步這樣講：
這裡的n可以是除了0以外的任意實數。
還用什麼級數之類大學才有的內容來講解嗎？
1/3在十進位制中是無限迴圈小數，但是在3進製中就是有窮的。無限不迴圈小數是無論多少進製，都是無限不迴圈。這就是有理數和無理數的概念。
2樓：韓衛民
很多答主給你提供『lim』，他們的證明是正確的，但是無助於你理解這個問題！
本質是你理解不了「無窮」，事實上這裡99%的答主都沒能真正理解什麼是極限。
科學松鼠會長度是怎樣煉成的 科學松鼠會 " 長度是怎樣煉成的
3樓：
反對一下所有用極限思想之前的學校知識的回答。
對小數做加法，乘法運算時。應當從最後一位開始加或者乘。
所以0.333...*3的計算是無法完成的。或者0.333...+0.333...此類都無法計算。
此外。整數和小數間的分劃好像沒什麼實際意義？
4樓：心繫國家的鐵柱
來來來，比如這個0.999………是不是等於3個0.333………相加，然後1/3就是0.333………是吧，3個1/3就是1，那就是說3個0.333………是一咯
5樓：
在嚴格實數論下的證明已經很多了，我來說一下很多人無法接受1=0.99…的原因，以及嘗試說服他們，在直覺上能夠接受這個結論。
什麼是實數？有人用構造的方式定義了實數，當然這是後來才發生的事。最開始的時候，實數是人類頭腦中一種直覺的概念，它能夠代表包括長度在內一系列量。
如果你頭腦中也有這樣的概念，那麼恭喜你，你所使用的實數的概念是通常的用法。實數直覺上應該是一些「連續不斷的」數，有點像是比例數的填充，為了讓我們能夠找到代表所有幾何物件的位置和長度，我們需要這種不是比例數的數（第一次數學危機）。所以什麼是實數？
我們完全可以說一條兩邊無限延伸的線上的每一點都代表乙個實數。直觀地看，我們會覺得任意兩個實數都可以比較大小，就有了序的概念；實數的「連綿不斷」使得非空有上界集合存在上確界；實數是比例數的「連續」的填充使得加法乘法的交換結合律等代數性質與比例數相似。總之，我們可以嚴格地構造實數，並使之符合我們心中的直覺。
實數這個概念本身是樸實的。如果始終處於對「一尺之棰日取其半萬世不竭」的驚嘆中就只能停滯不前。對於實數那種「連續性」以及其總是可分的驚嘆並沒有很大的意義。
因為這種「連續性」是我們出於對概念要求而提出的，而這個要求本身是合理的，至少處理幾何上的物件就需要這種「連續性」。
嚴格地說，1，2，0.999…不是實數，而是代表實數的符號。所以談論乙個符號的有限和無限本身沒有很大的意義，因為符號意味著一定的任意性。
我們用十進位制來表示實數，雖然有很多好處，但未必就是完美的。十進位制以及其它進製有一定人工痕跡並不是實數本來的模樣。進一步說0.
99…=1這件事不是關於實數的本質性質，而是關於十進位制這個表示方法的性質，告訴了我們十進位制這個表示方法幾乎可以與實數一一對應，但是卻有很多的點對應多個表示方法，而這個糟糕的特性不應該由實數來承擔。
作為比較，實數和十進位制的關係就如同語言中的被指物和指示物的關係。乙個事物可以由多個同義詞來表達這很正常。實數中的1可以由0.
99…和1兩種十進位制來表達倒是會使人感到奇怪。奇怪嗎？不奇怪，只是有人把十進位制想得太美好罷了，也正是因為人們在學習的過程中覺得十進位制方法太好了，便不假思索地相信十進位制是完美的。
6樓：明天就壘窩
這麼理解： 比10大的數是不是比9.99......大，比10小的數是不是比9.99......小
所以 9.99...... = 10
7樓：姜文傑
看到好多次這種類似的問題，證明 和 的方法是一樣的，不妨來證明 。
首先我們認為實數的小數表示法是確定的（確定的表示乙個實數，注意確定不是唯一）和完全的（能夠表示盡每乙個實數）。假設 ，記 ，顯然 是非負的。簡單推導一下，很容易就能看出， ， ， ，照這樣進行下去，對於任何 ，總有 。
但是我們知道，任何乙個正實數 0" eeimg="1"/>，總可以找到合適的 ，使得只要 N" eeimg="1"/>，就有 。這等於是說， 能夠比任何用小數表示法表示的正實數還要小，既然它比所有正數都要小，那只有 了，即 。
這裡有人會問，會不會存在像 那樣只有最後一位是 ，前面有無窮多個 的正實數呢？這就暴露了本問題中最大的乙個矛盾，雖然該小數表示法中出現了乙個 ，但是這個唯一的 何時出現？似乎永遠都不會出現，對於任何 ，它的第 位小數字上的數字一定是 啊，所以此處的 可有可無。
因此，我們傾向於認為這樣的小數就是 ，至此，讀者們現在體會到實數的小數表示法有缺陷了吧？
8樓：
0.999999無論有多少（有限）個9都不等於1，但是0.9（9迴圈）恰恰就定義為零點有限個9可以無限接近卻不必達到的那個數（極限）。所以0.9（9迴圈）就是1。
9樓：
你可以把它當作乙個臨界的數字，當然可以等於是10，也可以是無限迴圈小數。就像微積分裡面，如果求乙個二維圖形的面積，那麼圖形外圍的線可以忽略不計。
10樓：逸心
(有限/迴圈/不迴圈) 小數是實數的表示方法. 具體來說就是以進製為底的冪級數. 比如你給出的 9.999... 實際上的含義是:
換乙個例子來說,
這種表示方法的好處是,所有的實數都可以被表示出來(假如認為無限不迴圈小數也算是被表示出來了..),任意寫乙個小數都表示了乙個實數, 並且任意取截斷就是乙個一定精度的近似值. 壞處之一嘛, 就是題主你問的,表示不是唯一的.
在這個例子裡:
我們就至少找到了兩種表示方法.
這個數存不存在? 當然是存在的啦, 畢竟任意寫乙個小數都表示了乙個實數嘛. 至於它是不是整數, 當然是啦, 是不是無限迴圈小數...
嗯 "無限迴圈小數" 這個說法本身是高度依賴於這種表示方法和你對於這個詞的定義的, 並不是乙個多麼有意義的概念. 原則上說任何乙個有理數都可以寫成無限迴圈小數的形式:
這個題主肯定很熟悉
這麼做也是可以的嘛
至於實數究竟是什麼... 如果題主感興趣的話可以慢慢學, 等到大學學習數學分析的時候自然就知道了.
課後習題: 試證明, 任何乙個有理數 ( a/b, 其中 a, b 都是整數) 都可以寫成無限迴圈小數的形式.
11樓：野龍
存在。兩個都是。（也沒規定乙個數不能即是整數又是無限迴圈小數啊。。。實在不行我可以舉個例子，1.00迴圈，也是即是整數又是無限迴圈小數）
或者你也可以說是不存在的，因為這是個極限的概念，而不是數。
12樓：三九日
偶然刷到的，突然想起高中時班主任舉得乙個例子，可能有點不對路，，，，勿噴
0.99這個迴圈小數如果寫成分數就是0.33的迴圈乘以1/3，結果就是1。
當然，我不是很清楚小數和分數到底是啥關係。就是感覺這個也可以勉強解釋一下。
13樓：
我知道了：【小數】其實是【實數】的另一種表示形式。所有【實數】理論上都可以用【小數】的形式表示，（無限小數就算是一直無限著也算是用小數的形式表示了）。
實數包括【分數】【整數】和【無理數】，這三種數都可以用小數來表示。【9.99迴圈】不過是整數的小數形態而已。
就像的小數形態是【10.99迴圈】，的小數形態是【11.99迴圈】。
大神們我說的對不？
14樓：不可問天
他等於10。在以後的數學中好像並沒有對這個概念做過區分，我的理解是，寫作10是整數，寫作迴圈是小數，可以說他們倆代數相等。
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