1樓：鍵山怜奈
有乙個概念叫作「垂直」，是指的 ，但是一般並不說兩個任意的矩陣垂直，只有當這兩個矩陣都是正定（或者自共軛）矩陣的時候才說它們垂直。自共軛矩陣總是可以對角化的，而兩個矩陣可以交換，就意味著可以同時對角化，而它們的對角化的乘積是0，意味著同時對角化之後，如果某乙個矩陣的對角線上某乙個元素不是0，那麼另乙個矩陣的對應的位置一定是0. 也可以等價地說成是， ，任何乙個向量都可以分解為 和 的元素之和。
任何乙個矩陣都可以分解為半等距矩陣（或酉矩陣）與正定矩陣的積，並且在兩個矩陣的核相等的條件下分解是唯一的。半等距矩陣給出了向量空間的某乙個子空間與另乙個子空間之間的同構，如果分別記 而 ，那麼 當且僅當 .
兩個半等距矩陣「垂直」直觀上就是 的始空間與 的終空間垂直， 的終空間與 的始空間垂直。
矩陣的極分解在直觀上是這樣的：首先假定有如下的矩陣
這個矩陣把e1對映為2f1，把e2對映為πf2，把e3對映為f3，把e4對映為2f4
這個時候，如果把所有係數抹去，就得到了乙個半等距矩陣：
另一方面，如果把箭頭抹去，則得到了乙個正定矩陣：
所以原矩陣等於有箭頭沒係數的半等距矩陣乘以有係數沒箭頭的正定矩陣。
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