1樓：fiveday
最強的充要條件就是Newlander Nirenberg 定理。按實流形觀點看，如果(M,g,J)是2n維實流形，J^2＝id，那麼對應有唯一的黎曼聯絡▽和Nijenhuis 張量定義為N(X.Y)=［X.
Y］+J［JX.Y］+J［X.JY］-［JX.
JY］，如果J等於0，則可以推出N＝0，從而根據Newlander Nirenberg 定理知M為復流形。
一般若進一步有J compatible with g，粗略寫有dW＝▽J+N，據此，同理kahler流形也可以按實流形觀點定義。
至於拓撲結構，進一步如果對復流形加條件（如spin,kahler,calabi.K3等），拓撲結構，和樂群結構都有很強的限制......
2樓：Yuhang Liu
如果你考慮的是向量空間這種拓撲上平凡的空間，那總會有近復結構和復結構，by trivially identifying it with 。問題是我們大部分情況下考慮的是拓撲上不平凡的流形。這時存不存在近復結構或者復結構就是個跟拓撲有關、受拓撲限制的問題。
本科剛學纖維叢的時候，傅老師一直跟我們強調：纖維叢的重要資訊在於transition maps。每個纖維叢區域性都是平凡的，問題是你要怎麼把這些區域性平凡化給拼起來。
transition maps實際上給出了纖維叢的全部資訊。（近）復結構也是一樣的道理。每個coordinate chart上你當然可以隨意指定乙個J使得 ，或者隨意把他們映到某個 ；但是重要的事情是你怎麼把這些區域性資料以某種一致的方式拼接成整體的資料啊。
你要有乙個整體定義的連續的（1，1）－張量 J滿足 ，你的transition maps必須得是全純的。這都是整體性、拓撲性的條件，初學者一定要有這種整體意識。不能說我區域性可以這樣做，所以我整體就可以自然而然地也這樣做。
每個流形區域性都是可定向的，為什麼還是有不可定向的流形呢？再仔細想想Mobius band為什麼不可定向吧。道理都是一樣的。
另外關於近復結構的可積性我們有著名的Nirenberg-Newlander定理，我不想表述，自己搜吧，那個張量我從來記不住長啥樣。。而且表述方式完全也是在實流形上表述的。但是，對於乙個給定的流形，判斷上面是否存在（近）復結構，這是很難的問題。
我們至今不知道 上是否存在復結構（但是早就知道有不可積的近復結構）。
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