1樓：guyuming
我最近也在B站學Visual Group theory, 從裡面截個我喜歡的圖吧：
這個圖其實和本問題高讚回答裡面那個「一所高中分班級」的比喻有些接近的。
我個人目前對群論的體會是：圖里的那些個最小單位的黑點點，不要理解為不可分的「實體」，而是「實體間的對映」或「置換」。所以這圖表達的也就是子群，商群關係，卻並不能體現群成員之間關係。
關於陪集和正規子群，我再從Visual Group Theory 裡截兩個圖：
最後，索性多截兩張圖，來解釋下前面提到的「群成員是對映」的理解：群成員是下圖三角形頂點通過旋轉或翻轉產生的置換，也就是說群成員是初始三個頂點位置到變化後三個頂點位置的對映。
若給群成員從1到n編上號，又可以得到對稱群Sn的乙個子群：
關於置換，我是看懂這篇文章後才覺得自己明白的：近世代數理論基礎10：變換群·置換群 。倒不是說別的文章不行，如同一頓飯吃飽了不能只歸功於最後一口。
再回到「群成員是對映」，我目前學到的例子裡啥對稱旋轉翻轉啊，這種對映都是空間點一一對映，也就是至少都可以理解成「函式」。結合Cayley diagram 視覺化，是不是可以理解為群描述的就是定義域，值域相同的一組一一對映（也就是Generator）復合的結果及關係呢？
再貼兩個Visual Group Theory 裡面關於左右陪集裡面的比較吧。我找到兩次比較，第一次出現在Cosets定義那一節，第二次出現在講Quotients時的回顧。事實上，我一開始聽Visual Group Theory，一直覺得右陪集比左陪集容易理解，雖然從結果上說，左陪集就像子集的拷貝，容易看出，但如何根據Cayley Diagram 裡面的點和箭頭得到左陪集，我一直覺得腦子有些不夠用。
後來，看到第二次對左右陪集的對比，覺得第二次對左陪集的描述容易理解些：
推薦閱讀 為何從一元五次方程開始就沒有由有限次加、減、乘、除、開方運算構成的求根公式了？ 裡 「如何把門把手分層——如何把域擴張（在不破壞伽羅瓦對應的情況下）分為若干步。」那一部分，就是那個班級同學換禮物的比喻。
我一開始看匡世珉這個回答是雲裡霧裡，後來看了好久VisualGroupTheory，搞清了一些基本定義後再看，覺得有些明白了（不排除自以為明白了，其實只是混了臉熟）。
看 visual group theory 的時候，一直不明白為啥要研究軌道，穩定子啥的，剛看了 如何使用GAP復原魔方？ 才有恍然大悟的感覺。
2樓：Von Riemann
首先得理解等價類的概念，顧名思義就是把物體按照一定的等價關係就行分類。本質上，等價類就是一種「降維」操作，經常用於把無限的情況轉換成有限的情況。最常見的例子就是mod運算，如果考慮所有的自然數那麼很麻煩因為個數是無限的，但如果我們考慮mod 2這個等價關係，那麼所有的偶數都會被壓縮到乙個等價類裡面，因為任意兩個偶數的差都可以被2整除，所有的奇數也會被壓縮乙個等價類裡因為任意兩個奇數的差能被2整除，所以自然數在這個等價關係下被壓縮成了有限的兩個等價類即分別為奇數和偶數。
幾何上來看的話如下圖所示（上面的平面為集合S，下面的平面為集合S在等價關係～下的商空間
3樓：來自虛空的Xetta
來自虛空的Xetta：簡明算術教程——第二章群——第4節子群和陪集分解
來自虛空的Xetta：簡明算術教程——第二章群——第5節商群和同構定理及群的嵌入和擴張（一）
(所以我就厚臉皮的推銷自己的文章了→_→
4樓：「已登出」
最近看到了一篇文章能完美的回答這個問題，先佔坑等我不忙了把翻譯貼上來https://
5樓：柯西
陪集和對應的子群是等勢的，左右陪集是一一對應的，左陪集與右陪集如果有交，其對應的子群就是正規子群。其實也就是說，陪集就對應了原來的子群，有了陪集就等於有了子群。
商群則類似於商空間，是陪集組成的群，要正規子群才能做商群，因為只有這樣商群的元素才是乙個群，同時左右陪集就等同了，也方便定義。
6樓：
我試著用形象的方法解釋一下，如果G是乙個群，N是他的乙個正規子群。現在把G裡的元素以N的結構為模板凝聚成乙個個小塊，每乙個小塊就是乙個陪集，在群運算下每乙個小塊以整體為單位改變，這些小塊的全體組成了乙個新的群G/N
順便說一下，對於新概念可以先熟練運用，等用的足夠熟悉的時候，自然就理解了
7樓：影子
舉個栗子可能更容易理解
整數加法構成乙個群，單位元是0，記做
所有的偶數通過加法也構成乙個群，單位元還是0，記做
顯然我們知道整數可以分成奇數和偶數，所以我們想把整數群 分類，那怎麼分呢
我們知道偶數加偶數還是偶數，奇數加偶數都是奇數，所以奇數+ 是奇數集，偶數+ 是偶數集，這兩個集合構成了乙個群，就是商群 ，因為奇數集和偶數集其實就和兩個數構成的模2群是同構的。
所以分類的關鍵就在於，即使不同的奇數在整數群裡是不同的元素，當不同奇數作用於 時，結果卻是一樣的，同理，雖然不同的偶數（2，4，6，8，...）在整數群裡是不同的元素，但是不管哪個整數和 相加（作用），結果都是偶數集，因此這些偶數都等價，所以就實現了對整數群奇數偶數的分類
另一方面，我們想要的是商群不是商集，是群就得滿足群運算，比如H是G的子群，有兩個G的元素a和b，所以有兩個左陪集aH和bH，是商群就要保證aH與bH作用還有相同的形式，比如
如果G是交換群，就像上面的整數加法那顯然，因為作用順序無所謂就可以隨便換。不過其實用不著交換群這麼強的要求，只要左右陪集是一樣就可以了，左右陪集相等就等價於H是正規子群
直觀意義的話就像前面幾位說的那樣吧...另乙個我覺得比較直觀的栗子是矩陣（二階張量）乘法，正規子群對應的那個共軛關係在矩陣裡是矩陣相似，要看做座標變換的話，其實正規子群就是座標變換下等價的變換，而商群的意義就是把這層等價關係合併從而進行分類
8樓：
吃不透很正常，初學者能記住定義，但是對於群的結構不能有乙個「直觀」的感受，做題和繼續學習都可以更容易去理解這些基礎東西。
前面答主都已經解釋了陪集的確是等價類。特別的陪集給出了大的群的乙個劃分方法。陪集有聯絡到「群的作用」（action）這一知識，繼續學下去會有多一些的理解。
另外，為什麼有正規子群，這裡只說乙個點，你要讓這個左右陪集相等還能讓陪整合群的話，這個正規子群能很好的滿足你的需要。而且正規子群對於內自同構（共軛作用）是不變的。放寬到自同構自同態時候，大家還會研究特徵子群和全不變子群。
出現正規子群這個研究的乙個很大的原因是，群的定義中沒有交換，也就是大多數群都不是abel 群，這時候正規子群就類似於群中的乙個對稱的東西，這樣非常有研究價值。具體的我水平也不高，不太能把自己腦中的數學直觀轉成文字表述出來，只能說個大概，題主能理解就好，不理解也很正常，看書得到自己理解才是醉吼的。
有些多的細節還是要多學下去才能返回來理解。代數的學習就是乙個把抽象的定義轉為乙個數學直觀到頭腦中的過程，我建議不停往後學，卡住了再回頭看，不斷重複這些過程可以更好的進入學習代數的節奏裡面。當然方法因人而異，題主加油。
9樓：雲天需
下面我給你乙個比喻，可能會好理解得多。
你把群G當成乙個高中，裡面的元素就是學生。這個高中有三個年級，每個年級5個班，每個班40個學生。
下面來談談商的本質，其實商就是把有等價關係的兩個元素在新的群中看成同乙個，而等價關係的給出，就是由被商掉的那個群決定的。
回到之前的例子，我現在把乙個班級看成乙個子群，就取高一一班好了，這裡的等價關係就是同乙個班級的學生是彼此等價的，顯然互反性，傳遞性，對稱性滿足，這確實是個等價關係。那麼做商以後得到的集合是什麼呢，這個集合就是這個高中班級的集合，裡面有十五個元素：高一一班一直到高三五班。
每個元素都是乙個集合，裡面的元素是這個班級的學生，這樣在這個商關係之下，班級也就是所謂的陪集。
現在我們換一下，把年級看成等價關係，被商的子群就是乙個年級，就取高一年級，這樣得到的商群中的元素就是三個年級。
那麼什麼是正規子群呢，你可以把正規子群理解為一類特殊的子群，特殊在於，商掉正規子群得到的商群有自然的群結構。在上面的例子中，可以非常不嚴格的把班級和年級看成正規子群，因為它們是特殊的，因為生活中我們常以班級年級作為統一的單位。
那麼在上面的例子中，什麼可以當子群呢，你不妨把學號為1的學生全體當乙個子群，此時的等價關係就是相同的學號。這樣得到的商群就是40個，為什麼我要把它當子群，因為在生活中你基本遇不到學校以學號來劃分全體學生…
在正規子群這裡，模擬是很不貼切的，我主要想告訴你的是正規子群是極其特殊的子群。
那麼最後，你不妨在這個例子中，模擬一下對應定理是怎麼回事？
其實剛學的時候我也覺得商群這個東西很難理解，乙個群商掉乙個子群，相當於乙個集合商掉另乙個集合，得到乙個新的集合，這個集合中的元素都是集合…我一開始確實是從集合的角度來理解的，於是越想越暈…後來學多了，就想出了這個例子來加深理解。
最後的最後，這個例子只是直觀的理解，主要是對商掉等價關係是什麼意思作出解釋，而捨去了群裡面的運算是怎樣的。希望有幫助。
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