1樓：靈劍
最簡單的應該是用積分近似吧，因為 單調遞增，我們有
求和即得
即這個估計已經不錯了，不過左邊有點小，右邊有點大，取個平均大概能好一點：
然後n = 1的時候，左右兩側還差1/6，我們把n = 1的時候的誤差修正到0，這樣雖然 n = 0的時候偏到另一邊了，但整體上誤差可以再小點，於是有
整理一下就是
這個求平均的操作看上去有點莽，其實幾何意義是很明顯的，就是用梯形公式代替矩形公式，因為 是個凸函式，從曲線上不難看出，在整數點作折線，折線在曲線的下方，面積會小一點點，因此有
\frac + \sqrt}" eeimg="1"/>
用琴生不等式也不難嚴格證明這個式子。於是，接下來求和就有
\sum_^ \frac + \sqrt} = \sum_^ \sqrt + \frac}" eeimg="1"/>
剩下的和之前是一樣的了。從不等號上能看出，這個殘差隨著n的增加而遞增，因而增加常數項修正 n = 1的結果，可以讓 n >= 1的所有結果都變得更精確。
2樓：
那你需要知道乙個公式，叫做Euler–Maclaurin formula
會了這個公式之後，我們就可以得到它的漸近展開：
而對於所有的 ，都有，而在此 ，此極限解析。其實把這個漸近展開的前兩項加起來可以得到 ，後面的 是純粹估算的。
當然了，上面那種方法比較簡便，但是如果你不願意學那個東西也可以，我們自然還有其他方法，比如考察恒等式
可得 做個代換，令 ，原和式就是
為什麼要這麼代換呢？因為注意到當 的時候，我們有
這樣形式上簡單多了。把這個東西帶進原級數裡面，即
.這個結果和上面那種方法算下來的差不多，只是因為漸近方法不同導致了餘項的不同而已。
順便補一下其它回答裡的用梅林變換做漸近分析的教程：
學習復變函式與積分變換有什麼用途？
以後再也不會把漸近打成漸進了。。謝 @子元 提醒。。已經第二次了。。（逃）
日語N1，N2，N3，N4都什麼水平？
終海 三十多條語法的話N5不到的水平，對就是不到。至於其他的N1有七八百條詞條。這樣說是為了直觀感受。實際一些語法要分情況用也沒有這麼多就是了，但是學起來是麻煩，學一點忘一點就常態。然後，高二的話，努努力考個一百分以上還是可以的，畢竟高考日語也就N3到N2之間。 友達日語屋 N4 這是個基礎水平，難...
1 2 n n n 1 2n 1 6和1 2 n 這種求和怎麼推導的？
Ethel 用降維打擊！以二次方求和為例，考慮 正所謂雙贏就是贏兩次，求和也要求兩次。這個級數如果寫成一行的話那就是 總之中間項都可以消掉，最右邊一項又是0，只剩下了 也就是我們再對 進行二項式展開再合併得到 也就是說 再將和號展開 其中 將其代入上面的式子，再化簡便可得到 以及更高次的求和也可以用...
N4水平提公升至N1需要多久？
芥末考培 高三脫產到12月份考試，半年的時間如果專心學習的話N3是肯定沒問題的！如果你語言天賦很好，而且全天非常努力的話，N2也是可以嘗試的！至於N1嘛，半年時間，我勸你還是放棄這個夢吧！文科專業基本上是要N1證書，如果國內來不及考的話，那就選擇語言學校過度一下，畢竟在日語環境下學習效率要遠遠高於國...