1樓：執悲今厄
你混淆了【任意】與【所有】。
正是因為不能取遍整個論域，所以量詞才不用【所有】，而用【任意】。
使用【任意】時，不需要遍歷。因為【任意a屬於A，滿足X】背後的邏輯是【A擁有J性質，J性質滿足X。a屬於A，所以a擁有J性質，所以a滿足X】。
2樓：
這裡有兩個層面，句法與語義。
當我們試圖寫下句子 （這裡我們可以理解成的縮寫）前，我們需要先建立乙個一階語言 。能夠允許我們寫下上面這個句子的最小的一階語言只有兩個引數， 全稱量詞 以及乙個二元謂詞 。我們這裡只是形式地寫下了這個句子，試圖理解這個句子意義的需要我們將它翻譯到「自然語言」中去。
（句法層面上，選定邏輯公理集 以及推理規則 （集合論意義上，邏輯公理集就是合式公式的子集，推理規則就是一階語言合式公式集上的關係類），我們得到了乙個推理系統。（「就是」指，任意的選取邏輯公理集與推理規則都可以得到乙個推理系統；但由此得到的推理系統並不一定有價值。）進一步，選定某些合式公式組成公理集 後，我們得到了乙個公理系統，而 的全部定理組成的集合就是包含 並在關係類 下封閉的最小集合，歸納定理指出這正是全體從 出發使用 的演繹序列的末項。
）（更具體來說，考慮一階語言 與它的結構 ，記 的論域 ， 的全體變數集記為 ，取定 後遞迴地定義了對所有合式公式的滿足。 以 滿足 ，記作 ，可以證明，對於句子，不同 的滿足情況相同。）
現在來回答上面的問題。
1.2.
這裡的等價我作如下理解：
現在我們考察乙個較大的一階語言 ，它的引數為 ，二元謂詞 ，對每個實數 指派乙個常數符號 。考慮 的結構 （這是簡寫形式，意味著 的論域是 ， ， ）。
考慮句子集合 和句子 。
那麼當然有： 以及對 中的任意句子 ， 。
3.2) 萬有集合不存在。
3) 這裡的等價可以與2.做相同的理解。
3樓：鍵山怜奈
這是兩種不同的解讀方式，如果用純粹的形式主義觀點來解讀的話，數理邏輯中並不存在什麼論域， 只不過是乙個公式，滿足一系列推理規則，比如 .
但是在證明過程中，我們往往會進行這樣的操作：
已知 ，因此取這樣的 ，此時 成立，因此 .
或者任取 ，有 成立，因此 .
這其中運用的是演繹定理，是 在數理邏輯中的乙個推論，它說明了
命題 為真當且僅當將 加入公理集時 是真命題。
於是，這使得在證明命題時可以大大簡化計算量，我們可以時常地固定乙個 ，意即將 從公理集中取出或放回，這樣就不用將每個式子都寫成以 或 開頭的形式了。
本身也是形式主義的產物，但是 強大的表現力使得形式系統本身可以在 中得以表現，因此 定義了何為形式系統，並且發現，無矛盾形式系統總可以看作是某個論域上的命題集，公理集總可以看作是對論域的限制，而真命題則是在一切滿足限制條件的論域上總成立的命題。在這種定義下， 證明了演繹定理、完全性定理、不完全性定理等一系列有用的命題。
同時， 還證明了，一階形式系統如果有無窮模型，則有任意大的模型，因此除非論域有限，否則並不存在乙個真正的論域。這也同時說明了，對於某個無窮論域 ，如果它的每個元素都是形式系統的常量，那麼公理集 一般嚴格強於公理集 .
但是，一階命題 與二階命題 是等價的。
4樓：梧靈
對於乙個普通的命題來說，量詞取遍的能力不是逐一驗證得來的。一般來說對於實數集這種大集合，全稱量詞都是從存在量詞的否定和/或公理裡面來的。而存在量詞可以從常元轉變元（即P(c) =>存在x，P(x)，其中c為常元）獲得。
對於存在量詞的否定這一條，理由比較清晰：因為我找到了乙個常元c滿足P，那麼自然存在x滿足P，自然不是對於任意x都非P。我們這樣就得到了全稱量詞。
（*本段基本是題外話*）至於滿足這些性質的物件的概念是不是真的存在？這就是另乙個問題了，可以了解哥德爾第二不完備性定理。簡單來說對於許多常見的公理體系，我們在這個公理體系內是不能證明這些概念存在的。
這就靠信仰了。
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