1樓：宇文太白
為了讓更多的朋友看懂，接下來我的回答只會使用高中知識。
我們考慮二階線性遞推數列的一般形式：
已知 , （1）,且 .
我們假設存在實數 ，成立
（2），
整理得 （3）
以及 （4）.
這樣，根據（2）式和（4）式，我們構造出了兩個公比分別為 的等比數列.
而比較（1）和（3）中的係數，要使兩遞推式對任意 成立且完全等價，則必須滿足
.根據一元二次方程的韋達定理，我們不妨將 視為一元二次方程的 的兩個根。有趣的一點是，我們把一次項和常數項移到等號的右邊去，得到
（5）.
我們比較（1）式和（5）式，發現極大的相似性。也就是說，我們把遞推公式中的元素對應變換，就變成了（5）中的方程。我們（5）稱作（1）的特徵方程，（5）的根稱為特徵根。
當時，一定是（5）的兩個互異實數根。我們回頭看（2）式，此時我們成功構造了乙個以 為通項，以 為公比的等比數列。我們不妨設，於是有 .
問題在於如何確定 。我們只已知，而如果在 中代入 ，會出現 ，而這是不可以的。為了避免這個問題，我們在 中代入 ，於是有 ,於是就能確定 .於是，我們得到了
(6)同理，我們根據（4）式，能得到
(7)(7)-(6)得
(8)等式兩邊同時除以 ，並用 代替 ，最後我們得到了想要的通項公式
(9)至此，我們已經解決了題主的疑問——上面的通項公式已經很明顯地說明了這個事實，當的時候，二階線性遞推數列一定可以表示成兩個等比數列的和。這兩個等比數列的產生方式是起源於(2)式的假設，它們的公比就是特徵方程的兩個互異實數根。
現在，我們可以直接代入數值，求出斐波那契數列的通項公式了。
對於 ，其特徵方程是 ，解出兩個互異實數根，代入(9)式，整理得
而事實上，並不是一定要死記(9)式這條很複雜的公式，我們需要的是一種方法。這種方法可以歸納如下：
1.根據遞推式寫出特徵方程，解出特徵根 ；
2.根據我們的結論，二階線性遞推數列一定可以表示為兩個等比數列的和，所以可以設通項公式為 ，代入數列的任意兩項（一般為頭兩項），利用待定係數法求出 ，得到最後的通項公式。
2樓：愛因是蛋
如果題主懂線性空間，問題就好辦很多了。
給定常數 ，關於未知序列 的遞推關係如下： 其中 和 都不為 ，則稱 式為序列 的齊次 階線性差分方程。它的解集空間就像線性微分方程一樣優良。
斐波那契數列滿足的差分方程為： 它是 階的。
下面假設 是從 開始的。
單單乙個差分方程並不能完全確定 ，還需要相應的初始條件。對於 階的線性差分方程，由遞推關係容易知道，只要確定初始 的值，則整個 都是固定的了。另一方面，對於不同的初始值 ，由遞推關係得到的 也會不一樣。
所以， 式的解空間和 存在一一對應的關係。
我們還可以更進一步。滿足式 的任意序列 、，其和序列 、常數倍乘序列 仍然滿足 式，根據這個性質，可以證明 式的解空間是線性空間，並且上文說到的和 的一一對應關係，實際上是線性同構。於是， 式的解空間是 維線性空間。
要求 的通解，本質上就是求其解空間的一組基，因為解空間的任一元素(注：解空間的元素是乙個滿足 式的序列)都可以表示為基的線性組合。這個結果就和線性微分方程的非常相似了。
為了求得一組基，最簡便的方法就是試湊，而根據前人經驗，最好的試湊序列是等比序列。這也就是題主所問的求解斐波那契數列通式所設等比數列的原因。不過我覺得更重要的是整個解法的思想。
下面接著說。
我們設 滿足 ，其中 待求。將該等比數列代入 並略去公因子得： 這是乙個 次代數方程，有 個根 。
於是，對每乙個 ，序列 都滿足差分方程 ，換言之，我們得到了 個解。那麼，怎麼判斷這些解是不是線性無關從而確定是否可以作為解空間的基呢？注意上文我們得到的關於解空間到 的線性同構，於是，為了判斷一組解是否線性無關，只要判斷它們的初始值是否線性無關即可。
序列 的初始值為 、 、 、 ，借助範德蒙行列式可得： 要注意的一點是，因為齊次 階線性差分方程的定義要求 ，所以 式的根都不為 。於是，只要 沒有重根，上述行列式就不會為 ，於是得到的 個序列 是線性無關的，從而可以作為 的解空間的基。
所以， 的通解為： 其中 為任意常數。如果為了得到滿足一定初始值的特解，聯立方程求出 的值即可。
下面以斐波那契數列為例說明一下該方法。斐波那契數列滿足的差分方程為： 它是 階的，所以解空間是 維的。
假設 滿足 ，代入可得 ，有兩個不同的解： ，所以 的通解為： 初始條件是 ， ，讓上式的 分別取 和 聯立初始條件可以解出 和 ，最終結果為：
最後說一點，如果 存在 重根 ，則可以考慮 個序列 、 、 、 、 作為 的一些解。
3樓：
這並非乙個非常好解釋清楚的問題，我簡單說一下首先，對於k階線性遞推數列
（ ， ）
當 時，可稱之為k階齊次線性遞推數列如果係數 是與 無關的常數，則稱k階常係數齊次線性遞推數列斐波那契數列就是乙個二階常係數齊次線性遞推數列對於k階齊次線性遞推數列
它當然有無窮多個解
與線性常微分方程的Wronsky行列式類似如果這個差分方程的其中k個解
所構成的Casorati行列式恆不為0，則這k個解是線性無關的
k階齊次線性差分方程
的k個線性無關的解
被稱作基本解組
它的通解可以表示為
其中 是任意常數
借用線性代數的知識，當然很容易證明它不存在第k+1個基本解（實際上它的解空間是k維的）
因為假設它還存在第k+1個基本解 的話
由方程組：
不全為0，則顯然
這說明 線性相關，與假設矛盾
（對於斐波那契數列來說，它是個二階線性遞推數列，基本解只能有2個）我們再考慮遞推數列：
其中 ， 是常數，
這是乙個k階常係數齊次線性遞推數列我們把
叫做遞推數列
的特徵方程，而它的 個根 （可能有重根）叫做該遞推數列的特徵根
這裡的特徵方程
它實質上是矩陣 的特徵多項式
兩邊同乘以 ，得
所以很顯然， （ ）滿足遞推式：
是它的乙個特解
注意到 就是乙個等比數列
由於本題問的是斐波那契數列，所以我們只用考慮特徵方程沒有重根的情況，這種情形相對來講還是非常非常簡單的.
可以證明，對任意的常數
的線性組合
是遞推數列 的解
注意由數學歸納法即可得到， 的任意線性組合是遞推數列 的解
最後一步，只需要證明該遞推數列 的所有解都能表示為的形式，也即這是它的通解
對於給定的一組初值 ，有
這是個關於 的k元一次方程組
它的係數矩陣的行列式為
熟悉線性代數的人應該知道這是個Vandermonde行列式， 彼此不等
所以該行列式不為0
從而這個k元一次方程組存在唯一解
也即給定一組（k個）初值 ，就能唯一確定係數以上即證明，對任意的常數
是遞推數列 的通解
（ ）回到原問題——斐波那契數列來
對於斐波那契數列 （ ）， ， 來說
它的特徵方程是
兩個特徵根分別是 ，
通解為帶入初值，最後可解得（）
4樓：
我不喜歡你看到的這個解法。我理解他實際上想用特徵方程 [1]，但應該講清楚。
如果a和b是方程x^n = x^(n-1) + x^(n-2)的解（複數範圍內必有兩個解），
那麼Fibonacci數列就可表示為 a^n + b^n。
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水十三 Sn A n 2 1 公式推導如下 斐波那契數列 1 1 2 3 5 8 13 21 An則 a1 1,a2 1,a3 2,a4 3,a5 5,an。求和 Sn a1 a2 a3 AnSn 1 a1 a2 a3 An 1因為a2等於1，所以Sn a2 a1 a2 a3 An 1即 Sn a2...