1樓：XH Yang
首先構造電磁場中單粒子的拉格朗日量：
我們有四向量 &， 是四維速度向量, 是四維電磁勢，需要構造乙個拉格朗日量使得作用量 具有洛倫茲不變性。（式中 是拉格朗日量而不是拉氏密度）
當電磁場不存在時，無需考慮 ，但需要將 乘上乙個因子 ，即 ,使之成為洛倫茲不變的固有時 ,得
在非相對論極限下
為使其與經典動能 一致，得 (相加的常數項可以略去)當考慮電磁場和粒子的相互作用時，需要加上乙個用四維速度和四維電磁勢構造的標量，易知為 (前面的因子仍然是為了得到固有時)
拉氏量為：
為保證在沒有磁場時勢能為 , 為 ，對速度求偏導，得正則動量為：
對拉氏量作正則變換，得：
as可以看到， 出現在了哈密頓中，其中 是正則動量。
2樓：
自下而上來說量子化的p算符對應的是經典力學裡的正則動量，正則動量p減去eA/c才是機械能p^2/2m裡的p。這樣寫哈密頓量才依然是能量。
自上而下的來說，相對論性量子方程退化到非相對論情況就是這樣。至於相對論性量子方程為什麼也有類似p-eA/c的形式則是U1局域規範對稱性的要求。
當然，無論哪種說法，歸根結底就是這樣描述符合實驗觀測所以就是這樣
3樓：
外磁場進入總能量的方式是「不進入」：這是乙個為人熟知的結論，即洛倫茲力不做功（假設沒有磁矩，如果有，則需要加入額外的一項）。
之所以有第二項，是要從正則動量中把「非機械」部分刨去，得到機械動量，而機械動量就是你實驗測出來的動量。
那麼我們為什麼要定義正則動量呢？完全是出於數學形式的簡潔性要求：正則動量是滿足正則方程的動量，這時再代入正則動量的定義，就能得到機械動量滿足的方程。
4樓：qfzklm
必須強調一下，那個p是正則動量，不是動量，動量是p-eA。。
很多涉及電磁場的計算中，一旦不仔細就會混淆正則動量和動量。。
5樓：馬晨
簡單來說，如果我們承認洛倫茲力公式，那麼系統總能量就可以那麼寫。
洛倫茲力我們都知道：；
把電勢和磁矢勢的定義帶進去（當然假定是靜電場和靜磁場，變化的場會用四維記法）：
把後面乙個叉乘式子展開，並帶入庫侖規範，就得到：
由於力是由Lagrangian做梯度得來的，所以實際上括號裡面的就是我們需要新增在Lagrangian中的量，於是Lagrangian成為：
把它換成Hamiltonian，就是：
這裡沒有光速是因為那樣寫的洛倫茲力是光速為1的形式。
所以你看，如果沒有電場，這個Hamiltonian與自由粒子就只差乙個動量的替換。此時系統的Hamiltonian確實是能量，因為動能是速度的二次型。所以說磁場進入能量也是對的。
不過，這個最多算是一種方便記憶的說法，並不是推理，這背後站著的是那樣形式的洛倫茲力以及相應的Lagrangian。
6樓：
對帶電粒子在電磁場中的描寫是基於洛倫茨公式的，所以這樣寫出來的哈密頓量剛好可以用哈密頓正則方程的形式表述洛倫茨公式。你說能量，其實哈密頓量不一定表示能量，如果電磁勢是時間平移不變的，哈密頓量才可能表示能量，因為此時哈密頓量是規範不變的。
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