1樓：
這個問題過於經典了。
先說結論，眾所周知，在重力場中，被限制在圓柱形區域內的繞柱軸以勻角速度旋轉的理想流體在穩定後其表面是乙個旋轉拋物面。
其他回答中受力分析的做法很經典了，但表述上缺少一定的嚴謹性。
這裡從能量角度給出兩種不同於受力分析的做法。（下令豎直向上方向為z軸正向）
先做幾點說明：（這些前置條件很重要，否則所有的解法都是錯的！）
理想流體內部應力為正應力（內應力無切向分量）
我們不考慮流體與空氣相介面上的表面張力
流體表面受到的外壓沿表面法向（理想流體無粘）
在隨流體以相同角速度 繞 軸旋轉的參考係 中，流體處於靜止狀態
這個問題具有關於 軸的軸對稱性，故我們研究的表面形狀具有相同的對稱性,故我們在柱座標系中研究問題
法一： 系中流體處於靜止狀態，表面作用力處處為0，而內應力和外壓均沿著法向，故單位面積上的重力、慣性離心力也沿法向，而後兩個力均為有勢力，故我們可引入：
重力勢 離心勢 ，令
單位質量的面元受的 的力沿著表面的法向，故 在表面處處切向的方向導數為0，即表面為一等勢面即
於是 故
故表面為一旋轉拋物面。
法二：由於我們關心的系統處於 系中的保守性體分布力場中，我們可引入勢能密度 令液體內部壓強分布函式為
則 於是 其中 以液面最低點為原點時其即為外壓大小（通常為大氣壓）
注意到表面處有
故在液體表面我們可以得到：
柱座標系下這是旋轉拋物面的方程。
2樓：齊柏林
個人觀念啊，不保證正確。旋轉的離心力和水壓需要平衡，雖然旋轉線速度差不多，但是越靠下，水壓力越高，只有較小的旋轉半徑，角速度更大，才能平衡更高的壓力。
3樓：Huxley
旋轉液體的液面形狀
按：其實這個問題 @耳畔清笛 已經解釋得很好了，這裡給出乙個更為詳細的推導，以方便理解。
如圖建立柱座標系 ，假設密度為 的液體繞 軸以角速度 勻速旋轉。根據對稱性，液體壓強的空間分布可以寫為 :
考慮沿 向的截面積為 的微水柱，其平衡方程：
也即：積分得：
再考慮沿 向的截面積為 的微水柱，其平衡方程：
也即：積分得：
聯合式（1）和式（2）得：
由空間座標 的任意性，必有：
其中 為常數。那麼壓強分布函式：
記大氣壓為 ，根據旋轉中心表面的壓強條件：
即得壓強分布的最終結果：
可見等壓面是旋轉拋物面。液體表面是乙個特殊的等壓面，壓強為 ，故：
此即液體表面的旋轉拋物面方程。
4樓：秦風
先生這是為您特製的三杯漩渦，請問您要中杯、大杯還是超大杯？
從圖中可以看出來，的確漩渦的寬度會向底部逐漸變窄。
So TM why ？
因為離心力和重力一起參與了水壓的形成啊。下面的分析有一些公式，但只有初中難度，經過我通俗的解釋就只有小學難度了哦。
初中我們就學過水壓的公式：
這個公式告訴我們，其實水壓是水的重力（ ）沿著深度往下（ ）積累的結果。
如果水是靜止不動的，那麼從水面開始，垂直向下重力一層一層累積就形成了某乙個深度的水壓。
舉個例子，就好比十個人「多人運動」，乙個人趴在另乙個人身上，這樣堆十層，那麼最高處的那個人肯定最輕鬆（摔下來另說），最底層的那人就是在用生命運動啊，淚目。
理解水壓是怎麼形成的之後，我們看看加上離心力會產生什麼結果。
我們假設水杯裡某一點的深度是 ，離漩渦中心軸的距離是 ，漩渦旋轉的角速度是 。
那麼在 這個點上的水，它要受到向下的重力 和遠離漩渦中心方向的離心力 。
那麼這點的壓力就要加上離心力了：
細心的同學可能發現了，你離心力的那一項憑什麼多乙個二分之一啊？
因為實際上的壓力「積累」過程是在數學上是乙個積分的過程，本來的重力和離心力的「積累」是這樣的，具體的推導參考尤拉靜平衡方程：
得到加上離心力的壓力公式之後我們再考慮一下，漩渦的表面有什麼特點呢？
很明顯，壓力相等吧，也就是說液面是乙個等壓面，我們設定液面壓力是 （實際上等於大氣壓）。
所以就有：
我們把深度 寫到方程的左邊：
這不就是乙個拋物線嗎！！！自變數是 ,因變數是 ，二次項係數是 ，常數項是 。
逐漸變窄，原來就是往拋物線的頂點走！！！Amazing！！！假如我們在水杯底部的正中心開了乙個孔，水在漏出的過程中滿足角動量守恆（即 恆定），那麼液面形狀會發生什麼變化？
（說得這麼通俗易懂給個左下角好不好，給您嚶嚶嚶了）
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