1樓：郭季民
都沒錯，是你這個題目出錯了！沒有給充分的假設條件，就是計數方法沒有明確！
方法1認為：若出現以2結尾的數列，則計1結尾的數列長度為0。
方法2認為：若出現以2結尾的數列，則銷毀該數列。
所以這題應該是根據不同的計數方法得出不同的解。
希望你們換乙個好一點的老師出題。
2樓：
這題和另外一道題類似，當年面試被問過。大意如下:
有三個外觀一樣的杯子倒扣在桌子上，其中乙個杯子裡有一鑽石。你選擇其中乙個杯子，還沒翻開杯子，主持人掀開另外乙個杯子，裡面什麼都沒有（主持人知道鑽石在哪個杯子裡），主持人再給你一次選擇機會，請問你繼續堅持原來的選擇，還是選擇另乙個杯子。
很多人一開始都以為這就是二選一，所以換不換中獎率都是50%，這和題主這個少一面骰子差不多。核心是主持人的選擇跟你的選擇是否相關，或者2停跟1有沒有關係。
肯定有有關，如果選擇的是空杯子，那麼主持人只能選擇那個確定的空杯子，如果選擇是有鑽石杯子，那主持人可以隨便開啟乙個杯子，因為另外兩個都是空杯子。所以主持人的選擇跟參賽人員的選擇有關。而反過來主持人的選擇肯定不會反過來影響參賽人的選擇，所以如果堅持原選擇成功率永遠是1/3，而只有兩個杯子了，另乙個就是1-1/3=2/3。
回到本題中，2停前提是前面沒有出現1，因此簡單拿掉2變成5面骰子跟原情景是不等價的。
3樓：魚頭好吃魚尾好吃
方法二的概率1/5是說「2不出現的前提之下出現1的概率」，是條件概率。而2不出現的概率是5/6。
令A事件是1出現，B事件是2出現。則方法二是：
P(A)/(1-P(B))=1/5，
而P(B)=1/6。
則很容易得到P(A)=1/6。
出現1的概率，還是1/6。同樣思維，2出現概率還是1/6。
這就和方法一完全相同了
4樓：
有乙個直觀的理解，不知道對不對。
與不包含2的均勻五面骰子相比，加入了2之後，數列的長度會被截短。而且，原先越長的數列，被截短的概率(至少出現一次2的概率)越大，即2的截短效應不是均勻的。結果就是，有更多短的序列留了下來，更多長的序列被剔除，從而使得序列長度的期望變小了。
所以相比於方法二，方法一算出的結果更小。
序列從」由五面骰子生成的」變為」由六面骰子生成的」的轉化過程可以看作: 原先每一面的概率是1/5，現在序列上每乙個節點有1/6的概率轉化為2，剩下5/6的概率保持原樣。
5樓：陳辰陽
題主說了這個和骰子不出現2是等價的。那是什麼意思呢？
假設原來的骰子是A，現在有個五面骰子B數字為13456，AB都是投出12停止。
題主認為:
P(A投擲次數超過k次，第k次投擲結果為i|A以1結尾)=
P(B投擲次數超過k次，第k次投擲結果為i|B以1結尾)
i可以取13456。
所以得到E（A長度|A以1結尾）=E(B長度|B以1結尾)=5
那麼這個等價對不對呢？
首先P(A投擲次數超過k次，第k次投擲結果為1|A以1結尾)=0
P(A投擲次數超過k次，第k次投擲結果為3|A以1結尾)=P(A投擲次數超過k次|A以1結尾)/4
P(B投擲次數超過k次，第k次投擲結果為1|B以1結尾)=0
P(B投擲次數超過k次，第k次投擲結果為3|B以1結尾)=P(B投擲次數超過k次|B以1結尾)/4
很顯然P(A投擲次數超過k次)和P(B投擲次數超過k次)是不一樣的。
所以題主的直觀是錯誤的。
但是很多人說，看上去很有道理啊，其實你們覺得有道理的是下面的式子
P(第k次投擲結果為i|A以1結尾，A投擲次數超過k次)=
P(第k次投擲結果為i|B以1結尾，B投擲次數超過k次)=1/4
就醬紫，沒法得到題主所說的等價。
下面驗證一下答案順便說明為什麼1是正確的（因為能寫出過程啊....）
常規方法：
P(長度為k|以1結尾)=P(長度為k,以1結尾)/P(以1結尾)=
E(長度|以1結尾)=
方法1：
根據對稱性E(長度|以1結尾)
=E(長度;以1結尾)/P(以1結尾)
=E(長度;以2結尾)/P(以2結尾)
=[E(長度;以1結尾)+E(長度;以2結尾)]/[P(以1結尾)+P(以2結尾)]
=E(長度;以1或2結尾)/P(以1或2結尾)=E(長度|以1或2結尾)=3
6樓：Vieay
這個等價是錯誤的。
雖然可以看作是五面骰子，但是不應該是均勻的。結果是1的概率應該是其他的2倍，及概率比為2：1：1：1：1。那麼期望就是6/2=3了。
7樓：越谷小鞠
你把沒以1結尾的數列都銷毀，那確實2是走乾淨了，可要注意乙個結尾的2帶得走它之前的3456，卻帶不走任何1個1（根據題目出現1或2，終止一次試驗）。這時候的骰子五面分別對應的概率是1/3, 1/6, 1/6,1/6, 1/6.
8樓：
後一種想法相當於認為「丟擲了2等於丟擲了1」（注意並非「丟擲了1等於丟擲了2」），也就是說2被錯誤地規劃到了題目中所要求的數列中。相當於把骰子的2面塗改成1。
題主自己也說了，「整個數列就會被銷毀」，「因此可以把問題等價為骰子本身只有5個面」——而問題或者說邏輯錯誤就出現在這裡。乙個是「銷毀」，乙個是保留，這兩者是不可以等價起來的。
9樓：Hominid
第2種方法等價於：投乙個骰子直到看到1結束，刪掉所有途中的2，統計投的次數。
第1種方法等價於：投乙個骰子直到看到1結束，刪掉所有途中的2，統計從最後乙個2開始投的次數。
很顯然第1種方法多刪掉了一些最後乙個2之前（可能）看到的（3,4,5,6）。所以方法2和方法1不等價。
10樓：「已登出」
第二個的問題在於，當你銷毀之後，你把已經擲到2且結束的情況給統計進來了，「以1點結束的數列長度期望值」是乙個條件期望，而這個條件在2裡面被你改了。
用概率的語言來解釋，設事件A=\，B=\, 你要算的是E[n|A], 按照常規假定，P(A)=P(B), 且兩者互斥，這符合方法一的前提，但是方法2是說P(B)=0(其實可以理解成骰子不均勻的，永遠不會出現2)。
所以這兩種方法在做的不是同一件事，方法2可以理解成：擲到2就假裝沒看見（不計次數，不停止），直到擲到1為止。
11樓：Yeung Evan
這類求「給定模式的等待時間」的標準方法見Ross那本隨機過程的例6.2(A)，大概思路是設出現預期模式（如這裡的「出現1點或2點」）的期望次數為 ，然後構造乙個鞅 以隨機時間 為停時，再利用停時定理得到 ，最後解出 即可。具體過程見Ross的書。
比如，出現模式"1點或2點"結束，預期次數是 ，那麼由上可知，即 ，根據對稱性，以1點結尾和以2點結尾的可能性相同，所以出現模式「1點結束 | 1點或2點結束「的預期次數是6.
再比如，Ross書中例子，乙個三面體以概率 出現0，1，2，那麼出現模式」0，2，0「的預期次數是 ，那麼
，即 .
12樓：
無腦暴力計算。。。關於極限的嚴格證明收斂不太記得了，https://www.
13樓：王贇 Maigo
我居然也想了乙個多小時，結論跟 @太陽家的貓 是一樣的。畫圖來說明：
原始的概率空間是這樣的。橫軸表示概率空間，縱軸表示每次擲色子的結果。在每一層上，3~6 的寬度是 1 的四倍。
解法二用的思路是「從全概率空間中挖去不符合條件的部分」，即把以 2 結尾那部分挖掉。但它誤以為挖掉後的空間是這樣的，每層上 3~6 的寬度仍是 1 的四倍：
但實際上挖的過程應該是這樣的（黑色代表被挖去的部分），每層上的 3~6 也都被下面的層次挖去了很多（具體來說是一半）：
所以挖完的結果是這樣的，每層上 3~6 的寬度就只有 1 的兩倍了：
換句話說，解法二中的「五面色子」不應該是均勻的，出現 3、4、5、6 的概率各自都應當是出現 1 的概率的一半。
14樓：太陽家的貓
盯著這題想了三個小時，果然我還是太菜了。
是這樣的，方法二的問題在於3456和1的概率不是相等的，比出現1的概率要小一點。
用你的做法時，當你銷毀32的時候，以3開頭的概率就比1小了。不知道這樣說你能不能理解。
銷毀的數列數量正好是一半（所有以1結尾的都能以2結尾），因此這個五面骰子，3456的概率分別是1的一半，因此答案還是3。
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