1樓：alphacalculus
原體積為 ，在更小的體積 中找到乙個氣體分子的概率與體積成正比在 中找到N個氣體分子的概率是找到每1個分子的概率的乘積W表示微觀狀態數,取對數得
想象乙個絕熱容器內密封的理想氣體,體積為 ,現在在容器壁開乙個孔,讓氣體自由進入外面的真空腔內,達到平衡狀態後,氣體均勻分布在兩個腔中,如圖所示。
設兩個空腔的體積為 ，由於在這個過程中總能量不變，末狀態的體積更大，但是溫度和初態相同，因此這是乙個等溫膨脹過程，由理想氣體的熱力學第一定律
可得 再由熵 ，得
理想氣體狀態方程 ，得
兩端積分得則
2樓：
Boltzmann熵的定義：
是定義在所謂的 空間中的（這個名字是Ehrenfest發明的），也就是微正則系綜中的。
後來被Gibbs推廣到一般形式。
而Boltzmann還發現了乙個熵定理：
這裡 被稱為熱力學概率，因為它沒有歸一化，實際上是本徵值的數目。
詳細講解見我的專欄。
Yongle Li：熵的多種表示式
3樓：許小然
那就從最開始的熵的匯出開始說起吧。
對任意熱迴圈過程做微分，將其約化為由大量Carnot熱機疊加得到的熱迴圈過程，
根據Carnot熱機重要結論
可知上述每一微小Carnot迴圈都滿足這一關係，亦即
再將上述每個微小Carnot關係對整個任意熱迴圈過程做環路積分，即
由於該封閉曲線的環路積分為零，則所積變數 應當是某函式的全微分。考慮到該變數的積分值與過程途徑無關，只決定於始末狀態，因此該變數為狀態函式。
後該變數被Clausius定義為熵，此即得到熵的定義式
而題主提到的Boltzmann熵公式則涉及到熵的物理意義。
在Clausis定義式(3)中，由於 0" eeimg="1"/>恆成立，因此系統在可逆吸熱後熵增加。
以一定量純物質在持續吸熱過程中的連續可逆相變為例，由於整個系統在不斷的吸熱，因此系統的總熵不斷增加，其結果為 S_l >S_s" eeimg="1"/>。而物質的固、液、氣三種聚集狀態中，氣態的無序度最大，因為氣體分子可在整個空間自由運動；而固態的無序度最小，分子只能在其平衡位置附近振動；液體的無序度介於氣態、固態之間。由此可見，熵是與系統的無序度有關的，系統的無序度增加時，熵即增加。
分析其他過程也會得出同樣的結果，因而熵可以看成是系統無序度的量度。
對於熵的微觀物理學意義則需要引入統計熱力學的運算過程。已知定域子系統Boltzmann分布B的微狀態數為
Boltzmann分布式為
對式(4)應用Stirling近似法 ，得到
將Boltzmann分布式(5)帶入式(6)，再做微分，得到
考慮到粒子配分函式 q 為溫度T 和體積 V 的函式，在恆容條件下
對於定域子系統有 ，故
又，恆容條件下 ，故
其中 為定域子系統Boltzmann分布B的微狀態數。
在更為一般的情況下，取廣義微狀態數為 ，即得到一般的Boltzmann熵公式
以上。[1] 劉俊吉, 周亞平, 李松林, 物理化學(第五版)上&下冊. 高等教育出版社.
[2] 王正烈, 周亞平, 物理化學(第四版)上&下冊. 高等教育出版社.
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