為什麼麥克斯韋 玻爾茲曼速度分布在x 0時,兩種表述不一樣

時間 2022-01-07 04:11:57

1樓:

從數學形式上講,這個沒啥問題,推導出速度分布,然後根據各項同性積分球面推導出速率分布,積分後多了乙個4πv,v中v=0時必然導致速率分布在v=0處的概率分布為0,而且物理上也容易理解,熱運動不存在為0的粒子。速度分布,數學形式上,這個方程從-∞積分到+∞(實際上有光速限制),這是這個函式的數學定義域,如果換到物理上,定義域實際上不包含0。我的理解是,導致這個差異的是數學與物理上定義域的不同。

速度分布函式是乙個統計規律,符合高斯分布,但是物理世界裡面,應該是乙個離散而非連續的。通過這個統計規律,我們可以肯定的是:從速度分布上來講,我們可以知道粒子趨向於低能(互相碰撞後,最極端的情況是大家一樣),系統溫度越低,越向縱軸集中。

另外一點,書上給出的圖,我們並不知道這個系統的溫度是多少,可能這個圖對應的溫度非常低,看起來很誇張都集中到0那裡去了,如果知道某個系統溫度T,把這個實際的影象畫出來,去積分一下速度為0附近的概率,實際上靠近0這裡的概率是不大的(總的積分面積為1)。說到這裡,你應該會發現,圖中看起來v=0時對應的分布函式值是最大的,但是這個v=0在物理上無意義,在0+dv範圍內有意義。##分布函式的定義指的是在v~v+dv範圍內的粒子數(或者說處於這個速度範圍內的概率)。

可能大家還會存在疑問「這僅僅能解釋0那裡最大,但是0附近也還是比其他的大啊,速率分布函式是先增大後減小,速度分布在(0,+∞)是遞減的」。這裡我給出乙個唯象的解釋。速度與速率,本質差別是考不考慮方向,不考慮方向時,只要數值相等,那就屬於乙個陣營,無數的粒子,任意方向都有,在三維世界裡,就是乙個球形,考慮方向時,那就相當於分化了這個陣營,這是導致這個差別的原因所在。

一些人可能直接理解這個不考慮方向時只要考慮方向時的一半就行,但是乙個向量,可以分解成無數的向量和,分開的三個方向不能代表一切,他們三個線性無關的組合才代表了一切,因此不考慮方向時,任意乙個速率,是由無數個方向的速度組成的速率球,球型積分後,又多了乙個v,這個v導致這個分布函式的極大值不是在0處,而是在v=)2kT/m)^1/2處。

2樓:

第乙個式子是速度空間概率分布函式,第二個是率分布函式。我一開始看到速度分布的最概然速度為0,可是速率分布函式的最概然速率卻是,覺得很奇怪。其實在推導的過程中是先有速度分布函式然後再用球座標的重積分計算出的速率分布公式。

麥克斯韋速度分布函式推導出的結果就是指數形式,所以在速度空間中速度為零的分子概率最高,可是換成速率就不然了。雖然其他速率為V大於0的分子速度概率都較小,可是以V為速率的分子卻是分布在乙個球面上的。原因是熱運動的各向同性使得速度分布函式與球座標中的和無關。

然後再看速率分布函式是乙個二次函式與指數函式相乘的形式。隨著速率的增加,球面積越大(不嚴密的說就是更多的不同的速度值具有同樣的速率,平方增長),而每乙個具有此速率的速度的分子的概率都成指數減小。於是就有了最概然速率。

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