1樓：草及坪
這個問題有意思(ω)
要發掘出木棍運動的包絡線與內擺線的關係，就必須找出是木棍上的哪一點的軌跡形成了包絡線的形狀，再找出該點和內擺線的幾何關係。所以分為兩步走：
木棍上的哪個點的軌跡形成了包絡線該點和內擺線是甚麼關係
瀏覽了一下前置問題中大佬們的回答，很多大佬都給出了第乙個問題的解答：
將一根小棍放在牆角，讓它往下滑，那麼它掃過的曲線的解析式是什麼？ - 靈劍的回答 - 知乎 https://www.
將一根小棍放在牆角，讓它往下滑，那麼它掃過的曲線的解析式是什麼？ - 鬍子昂的回答 - 知乎 https://www.
感謝大佬們優秀的回答！
下邊分享我的思路
圖1 描述木棒的位置建立直角座標系單位長度設為木棒長度L
題中的木棍運動場景
在牆角豎直放一根杆，將它與地面接觸的一端向外移動，另一端依然靠在牆上，自然就會向下移動。
按照這種方法運動，木棍線段的包絡線其實與木棍如何運動無關，所以我們拋棄物理模型中有關實際運動中受力分析的細節，直接假定木棍以某種理想的方式運動。
如上圖，建立平面直角座標系，木棍為圖中紅色粗線條， 是木棍的兩個端點。定義 為 的中點， 以點 作矩形，得點 。連線 ，可得 與 相互平分。
做輔助圓 半徑為 ，通過簡單的矩形性質可知，圖中的輔助圓 的半徑 與 的長度相等。設 。
假設木棒A點按照余弦函式規律運動，那麼可以推出
其中 是乙個時間參變數，這樣木棒的每一時刻 的位置與速度等量，都可以用 表示出來。
圖2 木棍的運動示意圖
圖3 木棍產生包絡線
木棍在這裡的模型是乙個典型的剛體，在剛體的運動中有乙個結論：
而特別地，對於木棍來說在某一時刻至少有乙個點的速度方向平行於木棍。
因為木棍與包絡線時刻相切，並且對於木棍與包絡線的切點，該點的速度只能平行於切線（既木棍方向）。不然切點處在下一時刻就跑到包絡線外邊了。
回到問題上，木棍剛體與包絡線時刻相切，相切的點必然在包絡線上。也就是只要找到速度方向平行於木棍的點就解決了第一步：速度方向平行於木棍的點的軌跡是包絡線。
圖4 速度與木棍平行點的確定
通過理論分析（證明見附錄），可以得到這個點是圖中的 點。
點是 點對木棒 的垂線， 點是木棒的中點。因為 是直角，所以 三點共圓。圓心為 中點 。
因為木棒的包絡線實際上是 的軌跡，所以現在的任務是找到 點與星形線的關係。
圖5 內擺線的幾何意義
已知星形線是圓的一種內擺線。具體為乙個半徑為大圓的 的小圓上一固定點的軌跡。
根據大圓與小圓的半徑關係，可以推出任意時刻圖中 與 的關係：
其中為內部小圓在大圓內壁滾動的路程。
所以有結論：
在該內擺線上的點軌跡可以表達為兩種圓周運動位移的疊加，這個位移疊加關係可以用複數簡單的表示為
是復平面上的乙個點。
相對應的，如果乙個點運動可以寫成這兩種位移的疊加，他的軌跡就是乙個內擺線。
圖6 內擺線可以分解為兩個圓周運動的疊加
圖7 證明D點滿足兩個特定圓周運動的疊加
現在看這張圖。
容易證明， 的半徑是 的 （ 是 中點）。
木棒上速度與木棒平行的點 在圓 上（直角三角形性質）。
現要證明點 在星形線上。
由上一節的結論可知，只要證明 點運動可以寫成這兩種特定的圓周運動位移的疊加，就可以說明 點的軌跡是內擺線。
證明如下。
先證明(三角形外角)
(圓心角與圓周角的關係)
再證明點運動軌跡是兩種圓周運動位移
同樣我們使用複數代替向量， 可以得到：
代入 得到：
綜上兩點，可以得到 點的軌跡是乙個內擺線。
木棍上的哪個點的軌跡形成了包絡線->速度與木棒平行點該點和內擺線是甚麼關係->該點的軌跡是內擺線
然而這條曲線是星形線的結論，是通過數學分析的方式得到的。這個問題原本是乙個幾何問題，星形線最初也是通過幾何方法畫出來的，那這根杆的運動軌跡和星形線之間有沒有一種簡潔的幾何關係呢？
包絡線是木棒上速度與木棒平行點的軌跡。而這個點有相當簡單幾何表示（見圖4）
圖8 D點軌跡演示與包絡線演示
（一些補充證明在這裡施工，有時間再寫QAQ）
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