1樓：
等了很久沒人講奇異情形的Fano bound，雖不是這方面的行家，但權當自己是引蛇出洞吧（知乎裡我知道的這方面的高手是經常檢查節操的jc）。
前面有答主講了光滑Fano的情形，其實Miyaoka也貢獻不小，所以最好看Kollar、Miyaoka和Mori的《rational connectedness and boundedness of Fano manifolds》可能更合適些。
奇異情形就是所謂的BAB猜想，證明他的成立正是Birkar去年獲得菲爾茲的工作。關鍵在於Mori他們找rational curve的方法在奇異情形是行不通的，所以得找新的途徑，這個途徑就是n-complement（一切其實都可以追溯回Shokurov），利用其轉化為log CY的附加條件的情形，再通過各種bound（bound of numbers of blow ups）等等，轉化為Tori的情形，而這個早通過組合方法得到證明。
提到這個是想說，如果要問CY情形是不是成立，不一定要像第一位答主說的找CY上的rational curve；但同時也如李吟所說，CY即使在三維還很多最基本的東西都沒弄清楚，要想問family bound可能還太早一些。
2樓：菜雞
沒人回，那我這個幾個月以來學數學毫無進展的廢物降級人就強答一下。
首先我們有乙個事實：X是特徵零代數閉域上的n維光滑fano簇，那麼存在 滿足X上面任何兩個點都能被一條anticanonical deg不超過 的不可約有理曲線連線。
然後證明：X是乙個n維的proper variety，x是X上乙個光滑點，L是X是nef且big的線蟲，d>0滿足存在general pt 可以通過不可約曲線 與x相連，而且 ，那麼就有 。這件事情的證明是容易的，固定 0" eeimg="1"/>，總是存在 0" eeimg="1"/>以及除子 使得 ，找乙個general pt ，那麼 不在 裡面，所以 ，然後兩邊除k讓 即可。
最後有：Fano Varieties with bounded from above構成bounded family，這裡有乙個結果就是 總是very ample的，所以任何n維Picard number為1的Fano variety總是 的degree不超過 的子簇，當然我們不需要這麼精確的結果，知道 的兩個最高次係數只跟 有關，那麼n定了肯定是有界的，其它係數也會有界，固定了希爾伯特多項式那麼Fano varieties只有有限多種deformation type，CY variety應該是沒有這個結果所以不行。
深夜失眠，又喝了一罐啤酒，黑燈瞎火對著知乎瞎幾把打字，敘述、記憶和思維上難免出問題請見諒。
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