1樓：Trebor
我給乙個具體的例子。
pq系統：
形如?p?q?的表示式是「良好的」；其中?代表任意數量的「-」。只有良好的表示式可以作為公理、定理（就好比 可以是公理、定理，而 不可以一樣）。
公理A：-p-q--是定理。
公理B：如果X是定理，那麼-X-是定理。
公理C：如果XpYqZ是定理，那麼YpXqZ是定理。
上面，XYZ代表任意字串。
定理1：--p-q---。
證明：由公理A得到-p-q--；再用公理B得到所證命題。
定理2：--p--q----。
證明：由定理1、公理C得到-p--q---，再由公理B得證。
論述3：---p--q----不是定理。
請讀者自己證明。
論述4：-ppq---不是定理。
請讀者自行證明。
謎語5：這個形式系統有什麼意義？
解答：（不唯一）p代表+，q代表=。
修改自GEB。
2樓：隱風
說實話，歐幾里得的幾何原本的公理是嚴重不足的。書中第乙個定理的證明就很有問題，嚴格的證明要到希爾伯特的幾何基礎才完整，新增了不少公理。三體的推理也有這樣的問題。
實際上公理系統就是給了一些最初的話（公理），再給生成新的話（定理）的規則，然後就有了一系列的話（公理系統）。回到你的問題，當然可以。不過現代邏輯裡把語法和語法和語義分開了，避免出現因為語義而想當然的證明。
3樓：Ember Edison
事實上只涉及到數學的有窮部分的話，只需要4個推理規則外加乙個Forall（全稱量化）就能重現整個直覺命題邏輯
+量詞，諸如否定/與/或/存在量化/自然數/加/減/冪都可以直接定義出來。對於可以表現HA的系統，還需要新增存在HA的傳遞模型這個公理模式。
如果需要標準邏輯，就只需要新增雙重否定去除和外延這兩條公理。相比之下，TST也只需要兩條公理。
如果要引入模糊邏輯/模態邏輯/概率邏輯，就得加入不少公理了，而且這些邏輯也沒有很普世的公理化。
如果引入無窮的話，事情就變得非常複雜——因為我們對於超窮結構層次的理解是非常近代的事情。理想的情況下（Ω-猜想成立）的話大體也就需要替換公理模式，反射論證和V=Ultimate-L三條公理就成了。如果不成立……事情就大條了。
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