1樓：XDean
對於n,在n維下作體積為1的正n+1邊形(麵體)T,T的每乙個側n維標示了0-1的刻度(即正三角形的側邊,正四面體的側面,正五面四維體的側體)僅有約束條件每個刻度小於1/2,如圖
紅色區域面積即為所求概率，除去紅色部分公有n+1個邊長為原邊長1/2的相似體(維度為n)，所以答案為
2樓：靈茶山艾府
考慮「組不成 n+1 邊形」的概率.
首先把繩子視作乙個有缺口的圓環：
因為組不成乙個多邊形，一定有一段繩子長度大於繩長的一半.
即切口和缺口的位置必須在虛線一側，如下圖：（B 為某個切口）劣弧 A-B 間可能有 0,1,2,...,n 個切口（0 個切口即 A,B 重合），這一共是 n+1 種情況.
對於每種情況，所有切口位置均在弧 B-A-C 上的概率為 .
這樣「組不成 n+1 邊形」的概率就是 .
所以「組成 n+1 邊形」的概率就是 .
===推薦看 @Vichare Wang 的回答 http://www.
，他敘述的形式比我好。
3樓：Belleve
題主能不能先界定清楚，什麼叫「任意地切 n 刀」？
你是把繩子平放在桌子上，在整根繩子上任意地找 n 個下刀點？
還是先任意地切一刀，然後隨機取出其中一段，再「任意地切 (n - 1) 刀」？
將之抽象，就有兩種不同的切割策略：
方法一，隨機地產生 n 個 (0, 1) 間的隨機數（服從均勻分布）作為下刀點，然後下刀，得到若干段繩子。
方法二，從一整根繩子開始，每次隨機地（均勻分布）取出現有繩子的一根，隨機地（均勻分布）將之分成兩段，然後放回。重複 n 次。
要知道兩種切法，得到的繩子段的長度分布是不同的。
上圖是模擬切割然後統計繩子段長度（1/1000 統計精度）得到的分布圖。繩子分割為 15 段，圖中藍色線為第一種切割，紅色是第二種。可以看到，兩種切割法得出的繩長分布都不是均勻的，紅色應當是指數分布，而藍色則複雜得多。
原始碼參考 JS Bin。
4樓：曾加
思路很簡單：最長的一段不能超過繩子總長的一半。
我將給出2個證明，第乙個證明是正常的思路，需要一點微積分，第二個證明不用任何高等數學，簡潔易懂，但需要一點點技巧。
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證明1（僅用到簡單的微積分）：
設繩子的長為1。
先將問題離散化，將繩子分成k段（），每段長為Δx（）。
設為繩子無法組成n+1邊形的概率。在這種情況下，設最長的一段為x，顯然
下面計算最長的一段恰為x的概率。有兩種情況：
假設最長的一段恰在兩端
假設最長一段在左端，那麼最左邊的一刀（可以是n刀的任意1刀）必須切在某個固定的Δx內，剩下的n-1刀必須切在右邊的 1-x 內。最長一段在右端同理。
故總概率為
假設最長的一段在中間則最長一段的左右兩刀的距離恰為x
左邊那一刀可以選擇的位置有種，此時右邊一刀位置固定，剩下的 n-2 刀必須在 1-x 內。
左右兩刀在刀數的選擇有種
故總概率為
所以對於最長的一段恰為x的情況，繩子無法組成n+1邊形的概率：
然後再化離散為連續
故證畢！
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當天晚上我又想了一下這道題，根據答案的形式，突然又想到了乙個絕妙的方法！
只需要高中的數學知識就可以證明。
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證明2（僅用高中數學）：
設繩子的長為1。
切n刀將繩子分成了n+1段，從左到右分別是：
滿足：,
如果這些繩子不能組成n+1邊形，那麼存在，
易見，只能恰有一段不小於
假設，易見此情況等價於所有的n刀都切在了右邊，故所求的概率為
設其中的某一組解為
假設，設某一組解為,容易發現，對於每一組解，都可以通過輪換的方式，和的解建立一一對映的關係：
故，對於任意，所求的概率均為
（答者注：嚴格地說，一一對映並不是集合大小相同的充分條件，反例有著名的整數和偶數一一對映，但在本題下，容易判斷，集合大小相等是成立的。嚴格的證明需要證明雅各比行列式的值為1才行，這並不難但有點麻煩，從略）
綜上，對於以上n+1種情況，這些繩子不能組成n+1邊形的總概率
故證畢！
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如何以「我有一扇任意門」未開頭寫一段故事？
走馬 我有一扇任意門，它可以帶我穿梭時空 我一覺醒來，發現我在乙個陌生的環境，我對此早已習慣，畢竟我幾乎每天都不是在自己床上醒來的，我靜靜的躺在床上，等待自己的新身份 哎呀，小姐，怎麼還不起啊，你是忘了今天要和李公子出遊嗎？一道急急忙忙的聲音傳入，我急忙從床上爬起來 哎呀，我忘了，快快快，梳妝 我還...
乙個面積為1的圓隨機角度切n刀半徑，取面積最接近1 3的連續塊，這個面積與1 3的差的期望是多少？
環形劇場現任負責人 rua 我說說我的猜測吧，只是猜測哦 知乎使用者 房間內有 100 人，每人有 100 塊，每分鐘隨機給另乙個人 1 塊，最後這個房間內的財富分布怎樣？題主的問題其實有些類似這個問題的連續版本 最終分割出的塊面積只與其弧長有關，因此將圓轉換成直線段L，該直線長度可對應鏈結問題中房...
csgo萌新想入手一把差不多的刀 等玩一段時間在出手風險大嗎 會虧本或是怎麼樣嗎有要注意的事嗎 求解？
潘驢鄧小閒 老實說最近這個盤面 我這個經濟學學生看著有點懵 感覺隨時會崩盤 如果真的想入可以入，推薦獵殺者大理石，刺刀和m9的話，自由之手，澄澈之水，黑色層壓班都還行 Achimboldi 我沒有啥建議，我只是想說下我的經歷。前段時間我買過一把淬火鮑伊獵刀，高磨刀身半藍半淬屎，好看還是挺好看的，90...