1樓：宜城漫士
我是題主，跟大家分享一下我思考這個問題的心路歷程。
注意到n-1之後，我驗證了小的例子，比如3和4，通過窮舉確認了存在這樣的序列，而且有且僅有兩個，乙個2打頭，乙個3打頭。
然後對於一般的n，稱必須需要n-1次操作的排列為「刁鑽的」，則有以下非常重要的observation
如果乙個長度為n的排列是刁鑽的，那麼任何一次操作同時使得（1）元素i歸位（2）小於i的都在i左邊（3）大於i的都在i右邊，都有兩邊的子排列是刁鑽的。
特別地，如果我們第一次將1或者n歸位，剩下來的n-1個的排列必然也是刁鑽的。
證明很簡單，因為這一步操作以後，如果剩餘的n-1部分可以用少於n-2次歸位，總共就用了少於n-1次操作，與刁鑽性矛盾！
這就給出了乙個長度為n的刁鑽序列的必要條件，基於這個條件出發，我們便可以基於n的刁鑽序列，通過摺疊翻入的方法，去構造n+1刁鑽序列。
具體的，我們可以先把n+1放在乙個長度為n的刁鑽序列最右邊，然後窮舉把右側多長的字尾顛倒（逆操作第一步把n+1翻到最右邊的過程還原初始序列）
窮舉判斷是否刁鑽的必要條件是什麼呢？那就是這一步逆操作之後得到的候選刁鑽序列，把1翻到最前面之後，後面的2到n+1構成的n排列，在每個數都減去1的時候，應該也是刁鑽的。
例如4的時候，刁鑽序列為3142（和2413），那麼把5放到最後變成31425，我們要考慮把右邊連續幾個顛倒一下。主要有
然後注意到，只有第二個，在把1翻到第一位時，是13524，後面四個是3524，也即排列意義上的2413，也是刁鑽序列，所以我們找到n=5的刁鑽序列31524
類似的方法分析24135的顛倒，能找到另乙個24153的刁鑽序列
以此類推，可以基於必要條件，找到所有可能的滿足要求的刁鑽序列
2樓：PPDM
感覺還挺有意思，寫了個暴力搜尋，目前試了 n<7 的情況。用點例項為大家找靈感。
目前測試範圍內題主的猜想都是成立的。
而且比較神奇的是 n=3,4,5,6 的情況下，滿足要求的序列都剛好有且僅有兩個。
這是目前跑出來的結果(times=0 時對應的 array 是目標序列，Serial_Num 是序列的逆序數)：
max_time:2
times:0 array:1 2 0 Serial_Num:2
times:1 array:2 1 0 Serial_Num:3
times:2 array:0 1 2 Serial_Num:0
max_time:2
times:0 array:2 0 1 Serial_Num:2
times:1 array:0 2 1 Serial_Num:1
times:2 array:0 1 2 Serial_Num:0
max_time:3
times:0 array:1 3 0 2 Serial_Num:3
times:1 array:3 1 0 2 Serial_Num:4
times:2 array:0 1 3 2 Serial_Num:1
times:3 array:0 1 2 3 Serial_Num:0
max_time:3
times:0 array:2 0 3 1 Serial_Num:3
times:1 array:0 2 3 1 Serial_Num:2
times:2 array:0 3 2 1 Serial_Num:3
times:3 array:0 1 2 3 Serial_Num:0
max_time:4
times:0 array:1 3 0 4 2 Serial_Num:4
times:1 array:3 1 0 4 2 Serial_Num:5
times:2 array:0 1 3 4 2 Serial_Num:2
times:3 array:0 1 4 3 2 Serial_Num:3
times:4 array:0 1 2 3 4 Serial_Num:0
max_time:4
times:0 array:2 0 4 1 3 Serial_Num:4
times:1 array:0 2 4 1 3 Serial_Num:3
times:2 array:0 4 2 1 3 Serial_Num:4
times:3 array:0 1 2 4 3 Serial_Num:1
times:4 array:0 1 2 3 4 Serial_Num:0
max_time:5
times:0 array:1 3 0 5 2 4 Serial_Num:5
times:1 array:3 1 0 5 2 4 Serial_Num:6
times:2 array:0 1 3 5 2 4 Serial_Num:3
times:3 array:0 1 5 3 2 4 Serial_Num:4
times:4 array:0 1 2 3 5 4 Serial_Num:1
times:5 array:0 1 2 3 4 5 Serial_Num:0
max_time:5
times:0 array:2 0 4 1 5 3 Serial_Num:5
times:1 array:0 2 4 1 5 3 Serial_Num:4
times:2 array:0 4 2 1 5 3 Serial_Num:5
times:3 array:0 1 2 4 5 3 Serial_Num:2
times:4 array:0 1 2 5 4 3 Serial_Num:3
times:5 array:0 1 2 3 4 5 Serial_Num:0
本來想跑一下找規律去想證明的，但也還沒看出規律。
為大家提供點散裝靈感
我原猜想n目標串總總遞迴包含n-1字串。但從結果來看，並不遞迴包含。只是暫且滿足：n 長的兩個滿足條件串，總有乙個串似乎會包含 n-1 長度的乙個滿足條件的串。
目標串的逆序數似乎剛好等於 n-1。
待想到其他什麼再來補。
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