1樓：h8liu
Pi的本質是歐式距離空間裡的乙個常數，因此，凡是和平方和的開方（比如三角函式）能搭上關係的，也經常能和Pi搭上關係。
具體說來，Pi只是歐氏距離空間裡乙個圓的周長和直徑的比。比如說在乙個球面上，Pi一般就是乙個不一樣的值了。或者說，Pi的乙個更形式化（也更本質更靠譜）的一種定義是下面這個積分的值：
當然，要利用這個定義之前需要先形式定義定積分（還有實數的平方和開方運算），這個可以參考各種靠譜數學分析教材。
注意到裡面計算的過程，和歐式空間的距離定義（平方和的開方）可以說是直接相關的。
再多說兩句尤拉公式。尤拉公式是關於指數函式的公式，而（實數域甚至虛數域上的）指數函式的形式定義其實就是乙個級數，而並不是最樸素的把乙個數乘上若干次，否則肩膀上頂虛數的指數簡直沒法解釋。也只有用級數定義，才有尤拉公式的成立。
（尤拉公式的推導和「圓」其實沒啥關係，只是直接套指數函式的定義展開。）
三角函式的形式定義也一樣用的是級數。
或者說，本質上，指數函式三角函式等這些非代數函式，本質都是通過取極限運算才能定義出來的（實際上每個無理數本質都一定是乙個極限，比如說，乙個實數的形式定義是一堆有理數夾逼出來的，乙個有理數的平方根的形式定義是平方之後小於這個有理數的所有有理數集合的上確屆），只不過恰好這些函式（尤其是三角函式）在歐氏空間裡能找到比較形象的幾何解釋而已。
補充：正態分佈裡那個Pi就是標準化到1用的。把後面那一大坨東西從負無窮積分到正無窮，正好是前面那個係數的分母。
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