1樓：李騰
特殊化方法
如果原始問題太難完全沒有思路，可以先加上幾個簡化條件考慮特例。特例如果獲得解決，可以仔細研究其解法中的本質，看看能否推廣到原問題。
例如Boltzmann方程領域，解的存在唯一性、對初值穩定性、漸進分布等問題，對一般的碰撞核（即構成氣體的大量微觀分子碰撞後散射角的概率分布函式）很難論證。所以全世界該領域的研究者們就對各種特殊的碰撞核去證明或找到反例，慢慢拼出一幅完整的影象
補：也有時候，我們為了證明某個命題，需要把條件一般化，這樣能夠發現哪些條件不是本質的可以丟掉，以便迅速找到應該使用費條件。
2樓：caleb89
好像還沒人說過組合的？我來說個簡單的
Lindstrm–Gessel–Viennot lemma（Lindstrm-Gessel-Viennot lemma這裡有詳細介紹跟證明）
在乙個有向無環圖里，想要計算從n個起點 到n個終點 的n條互不相交的路徑的數量（具體說是其生成函式），只要符合一定條件，就有個非常漂亮的形式表達出來。具體來說是下面乙個矩陣M的行列式
其中 是從第i個起點到第j個終點的生成函式。
這裡最神奇的一點是為什麼結果是乙個行列式。這個矩陣從線性空間的角度看完全沒有意義，而實際證明過程中也完全是以組合形式證明的，結果剛好用行列式能表達出來。
證明過程用到另乙個技巧，就是想證乙個集合的生成函式為零是時構造乙個involution，這個involution能使整個結果變號，然後整個集合就分成兩部分互相抵消。不過這個方法太寬泛，在不同問題裡的變招太多，很難說是乙個「技巧」。
3樓：
Bootstrap or Continuity Arguments
想法很簡單，乙個空間如果是連通的，那麼它的非空既開又閉子集只能是全空間。
4樓：周澤
形變法或擾動法。如前面答案提到的連續性方法便是它的某種表現形式。作為一種「連續統版本的數學歸納法」，連續性方法在偏微分方程解的存在性問題的研究中是非常普遍且管用的「套路」。
另外，不少離散幾何的問題，如關於雙曲多面體構造的Andreev定理，關於圓堆積的Circle pattern定理，以及離散版本的Minkowskii問題，還有square peg問題等，相關的研究也常常基於連續性方法。在拓撲學中，形變也是一種重要技巧，只不過它往往有另乙個名字---同倫。很多拓撲不變數的計算，如基本群，同調群，對映度，相交數，向量場的指標等，利用同倫形變常常收到意想不到的效果。
在Morse理論中，利用梯度流的形變，我們可以從臨界點挖掘拓撲資訊。辛幾何中的美妙結果 --- Duistermaat-Heckman 定理，也是形變思想的體現。需要指出的是，這個定理在Mirzakhani關於Witten猜想的證明中溝通了兩個方面的資訊，起著類似於橋梁的作用。
至於復動力系統，擬共性手術是十分常用的技巧。從廣義的角度來說，這也是一種形變法。
最後，在代數幾何，尤其在模空間的研究中，形變理論本身就是重要目標。
5樓：驀風星吟
不說具體的，說點通用的吧，第一肯定是「猜」，這個"猜"上面大神和普通人的差別可大了去了哦！
至於第二是我覺得是發散聯想，第三個是歸納總結吧。
舉個之前說過的例子，本科的時候總結的東西：
復變函式裡的復平面上Cauchy公式以及相應的留數定理，可以統一粗略表述為：用繞曲線邊界的積分刻畫內部某一點的值。
數學物理方程以及復變函式裡都涉及的極值原理，同樣也可以表述為：用邊界上的值刻畫內部值的範圍；
6樓：Yuhang Liu
我學的數學領域是微分幾何，我下面說的那些東西還是需要黎曼幾何的基礎才能看懂的。主要是我學的這個小方向（正曲率）會用的一些trick。
Thorpe's trick：假設乙個流形M帶positive sectional curvature，那麼存在乙個4 form w,使得把w和M的curvature tensor加起來以後，得到的那個 到 的operator是positve definite的。（注：
curvature operator being positive是個比positive sectional curvature強的條件（我一開始也沒想明白，老闆指點了一句話以後茅塞頓開，所以我也讓大家先想想這兩個條件的區別在哪哈哈）。用Ricci flow的方法可以證明帶positive curvature operator 的流形一定是spherical space form。這個技巧是說如果假定positive sectional curvature，那麼可以修改乙個curvature operator，使得它變成正定的。
我老師說這個技巧特別有用，雖然我現在還沒怎麼用過。。）
Toponogov comparison:就是曲率有下界的時候，有一些對測地三角形的邊邊角角的比較。特別地，正截面曲率空間中的測地三角形的內角和嚴格大於 .
這個事實很有用，可以用在，比如說「帶對稱性的正曲率流形的分類」。
q-extent：給定乙個度量空間X , 所謂的q－extent是指：在X裡取q個點，求出它們兩兩之間距離之和，然後讓q個點變動，求距離之和的最大值，就是所謂的q-extent。
q=2的時候就是直徑。通過這計算這個量，然後和上面的Toponogov comparison結合起來，可以證明，比如說，Hsiang-Kleiner theorem。我現在也在沿著這個思路試圖分類更高維的正曲率流形。
Frenkel theorem：乙個正截面曲率流形維數為n，兩個完備的全測地子流形維數分k1,k2.如果k1+k2>=n，那麼這兩個子流形一定相交。
這個定理一般是用來反證，也就是假設要證的東西不成立，據此構造兩個全測地子流形且不滿足條件，得出矛盾。全測地子流形怎麼構造呢？一種常見的做法是取 fixed point set of isometries.
Soul theorem：soul theorem在揭示正／非負曲率流形的結構方面有很大的威力。它本質上反映了距離函式的凸性（convexity of distance function）。
我現在感興趣的是Alexandrov space/orbit space上的Soul theorem，因為我上面提到了群作用，我現在要考慮群作用的商空間M/G，對M/G應用Soul theorem，可以探測M/G的拓撲結構，從而反過來探測M本身的拓撲結構，以及群作用的資訊。
然後還有一些表示論的東西。因為要考慮群作用，所以李群的表示，作為流形上的群作用的「線性化」，也就成為研究區域性作用方式的基本工具。基本的結論，比如SO(3)的不可約實表示出現在奇數維，每個奇數維各有乙個，以及具體的作用方式，都是很有用的結論。
上面說的是正曲率裡面用的比較多的一些技巧。現在再補充乙個一般情形下的微分幾何裡的技巧：Bochner type technique.
這個東西太有名了，不過我了解得不多，夏銘辰好像學得比較多，可以問問他。
最後說點自己的感想：PhD讀了3年，發現自己還是更適合做具體的（而不是抽象的）數學。。抽象的數學，比如代數幾何啊，雖然結論看起來很高深，很強大，但是畢竟看不懂學不會啊。。
我現在還是喜歡用一些比較「古典」的、比較幾何的、「看得見」的東西去做數學，這樣我才感覺自己做得動。幾何分析那套東西麼，可能也會用到吧，但是玩估計玩不等式，大概也不是我的菜。。
在cf裡，有哪些很有用的技巧？
只要是嚴肅比較正式的比賽，一般對手慢節奏打a失敗後，第三把會集體壓b，第三把要在b裡重守，並且千萬別前頂，要誘敵深入，導致對方壓失敗也不好退回去重整旗鼓，被牢牢困死在該地區。黑色城鎮，沙漠灰等開闊地圖，剩下你和對手兩個人時，對方一下包，你要第一時間在中路看對方走向，也就是排除法，比如你在黑色城鎮中a...
在你所了解的領域裡有哪些著名的舉例？
英語，萬能的Lilei，Lilei How are you.Mike I m fine,thank you,and you?Lilei I m fine too. 說到學習和乖巧，家長界總愛舉 別人家小孩 的例子。才看到上面有類似答案了啊喂 為求不摺疊，再舉幾個例子。類似的，在遇到困境跟長者傾訴的時...
在你的學科，領域裡，有哪些你們覺得坑爹，糾結的專業術語？
GSUI5051 做AI,ML 讀作 做人工智慧，機器學習 再來個刺激的 兄弟，搞個拖把來唄。聽到這個一定有人想著去保潔阿姨那裡搞個拖把了，其實並不是，咱們說的拖把是這樣的 這玩意學名叫牽引杆，英文名叫Tow Bar,然後就音譯成了拖把 知否智否 我專業的專業術語到沒那個比較坑爹，有件事感覺很坑爹。...