1樓：qfzklm
我在這裡貼乙個我之前遇到的相關聯的問題。。
為什麼這個演算法誤差的看起來這麼小？ - 知乎
簡而言之，確實需要專門做理論推導才能設計出來合適的差分方程來進行計算機模擬。
2樓：Joseph
不能忍受忽略了所有物理常數的物理公式！！
應該是這樣：
import
numpy
asnp
import
matplotlib.pyplot
asplt
defrun(N
):t=np
.arange
(0.0,N
,0.1)x
=np.zeros(N
*10)=
np.zeros(N
*10)ax
=np.zeros(N
*10)y
=np.zeros(N
*10)vy
=np.zeros(N
*10)ay
=np.zeros(N
*10)r
=np.zeros(N
*10)G
=1m=
1d=1
defAcceleration(d
,G,m
):return-G
*m/(
d**2)
x[0]
=0.5*d
[0]=
-0.2*d
y[0]
=0.0*d
vy[0]
=1.63*d
r[0]
=np.sqrt(x
[0]**
2+y[
0]**2
)ax[0
]=Acceleration(r
[0],G
,m)*
x[0]
/r[0
]ay[0
]=Acceleration(r
[0],G
,m)*
y[0]
/r[0
]delta
=0.01/(
np.sqrt(ax
[0]**
2+ay[
0]**2
))foriin
range(1
,N*10
):[i]
=[i-
1]+ax
[i-1
]*deltavy[
i]=vy
[i-1
]+ay[
i-1]
*deltax[
i]=x
[i-1
]+[i
-1]*
deltay[
i]=y
[i-1
]+vy[
i-1]
*deltar[
i]=np
.sqrt(x
[i]**
2+y[
i]**2
)ax[i
]=Acceleration(r
[i],G
,m)*
x[i]
/r[i
]ay[i
]=Acceleration(r
[i],G
,m)*
y[i]
/r[i
]plt
.title
("Simulation Times: %d"
%int(N
*10))plt
.plot(x
,y,'o'
)plt
.show
()if
__name__
=="__main__"
:run
(2500
)作個圖發現軌跡跑遠了：
說明步長設定為0.01太大了。改小點試試！
delta
=0.001/(
np.sqrt(ax
[0]**
2+ay[
0]**2
))果然好多了：收工。
3樓：Comzyh
我記得解微分方程，第一講就是如果搞不定就麼上計算機。
直接模擬有系統誤差，比如你就算模擬乙個二次函式，如果直接按定義來模擬，由於步長不是0，一定會偏向外側/內側。
估計用容格庫塔會好很多，一味減小步長不是正路。
4樓：
但是很慚愧，我沒有弄清穩態的本質，也就是回答偏了。
題主問題的根本原因，應該是 @浪客所說的「 長期模擬行星運動要用專門設計的保能量的辛演算法。常規的演算法會導致能量累積或衰減，高階龍格庫塔或者隱式方法只是誤差累積的慢一些。」
我專門查了一點相關文獻，的確如此。
題主問題中的穩定性，應該是指的「不出現隨著時間一直累積的數值計算誤差」，這個跟微分方程數值求解過程本身的穩定性，是兩個不同的概念。
這裡也非常感謝@ Sun AO，@KL Hahns等知友對我答案的指正。
下面是原答案，請大家隨便看看就好——因為答偏了。
原答案
個人也認為主要是問題出在所選用的數值演算法上，比如，時間步長不夠小。
隱式演算法對數值求解穩定性方面很有優勢，也可以控制求解精度，同時，可以進行變步長計算(在要求的精度下)，以節約求解時間。
如上面的知友所述，可以考慮隱式尤拉法。隱式尤拉法是最簡單的隱式常微分方程(組)演算法，但需要利用牛頓法等迭代求解非線性方程(組)。題主有興趣可以搜搜相關文獻和程式。
數值計算方法的重要性，其實遠超大部分科學和工程技術人員的想象。
原答案
5樓：
兩體問題一般是二次曲線，在遠離拋物線、圓、直線這些臨界情形時不涉及初始狀態。是橢圓就是橢圓，是雙曲線就是雙曲線。
你用的是顯式尤拉折線法。
隱式尤拉折線法無條件穩定。
顯式尤拉折線法條件穩定，且需要步長充分小。
不過這個穩定性指的是小的初始誤差帶來的誤差的，而你口中的穩定性似乎只是捨入誤差和截斷誤差。
不過，這一步的捨入誤差和截斷誤差放到下一步就是初始的誤差，所以套用穩定性的分析也沒錯。
改成極座標，並用龍格庫塔四階方法去計算，會好些。
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