1樓：
1，每乙個方程都會對應到它們的根的置換群的乙個子群，稱為這個方程的伽羅瓦群。
2，如果將方程的係數看成未定元(一般方程)，這時n次方程的伽羅瓦群是n次對稱群S_n。
3，乙個方程存在著根式解的充分必要條件是它的伽羅瓦群是可解群。
4，n≥5時，S_n都不是可解群。
由以上四條(完全解釋並論證清楚以上每一條都需要花費一定的功夫，不得不感嘆伽羅瓦真是天才，這麼長的推理，怎麼想得到的呢？)形成完整邏輯鏈，就能推出5次以上的一般方程沒有根式解。
2樓：
Galois理論說：「乙個方程有根式解」等價於「該方程的Galois群是可解群」。
該理論的基本邏輯類似於：n張規格不同的漁網（網孔大小不同）最多只能把大小不等的(n+1)條魚「逐個地」區別出來。
Galois理論的乙個推論是「5次方程沒有根式解」。
該推論的基本邏輯類似於：2個裁判最多只能給出4類判決即便第5位選手的表現與其他4位都不同，ta也只能得到這4類判決中的某一類。
該推論的基本依據是：1個集合至多容納「2種運算」（群group容納了1種運算；環ring和域field容納了2種運算；若要容納3種運算，則必須是含有2個集合的模module），而「2種運算」的最大區分度是4（= 2^2）。因此乙個集合（域field）上的根式解（代數表示式）最高只能表達4次方程。
Galois擴張 & 代數拓撲
關於伽羅瓦理論有什麼入門書籍？
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