1樓：Carlos
如果是在面試中被問到這個問題，作為乙個信奉概率論的程式猿，我會選擇一種快速粗略不準確但很可能是對的簡化: 比較2.5^3 和3^2.
5 。明顯前者更大。基於x^y - y^x 不會在2，3附近突變的假設，可以猜測e^pi > pi^e.
當然這只是種投機取巧
2樓：卍卍為而不爭卍卍
顯然兩數均大於1，同時取對數（以e為底），可得到π和lnπ^e，即需要比較π和elnπ的大小。
由不等式x/e≥lnx(當x>0時成立，x=e時取得等號）可知：π/e>lnπ，即π>elnπ.
故e^π>π^e.
3樓：freeman
e^π 和 π^e
對二者分別取對數：
ln(e^π)=π =3.1416
ln(π^e)=e*ln(π)=3.1117所以，e^π > π^e 。
4樓：光陽果
直接用計算器計算啊!!!
e = 2.718281828459045pi = 3.14159265359
比較pow(e,pi)與pow(pi,e)，結果為True說明 e^π > π^e 。
5樓：大大方方的
其實這樣的問題可以歸結為:
x和y, x和y均大於0.
條件: x和y的範圍區間: 0-1, 1-2, 2-無限.
判斷: x^y 和 y^x的大小關係.
x和y的取值: 有N種情況組合. (好像總共有12種情況吧)
列一下情況的組合:
可以總結為: m,n>2. 單調遞增. 指數和底數互換位置的變化情況下, 誰大誰小. m^n. n^m,
可以總結為: 2>m,n>1. 單調遞增. 指數和底數互換位置的變化情況下, 誰大誰小. m^n. n^m,
可以總結為:1>m,n>0. 單調遞減. 指數和底數互換位置的變化情況下, 誰大誰小. m^n. n^m,
舉例: 我只列了幾種情況. 有興趣的可以繼續列吧.
x和y. x, y均大於2.
情況:|x-y|相差》1
|x-y|相差<1
|x-y|相差=1
分別比較: 數1: 大數為底, 小數為指. 數2: 小數為底, 大數為指. 的大小.
情況: 相差=1時, 數2>數1. 最簡單的: 5^4 和 4^5次方.
情況:相差<1時, 數2>數1. 最簡單的: pi^e和e^pi次方. 同上.
情況: 相差》1時, 數2>數1. 最簡單的: 5^3 和 3^5次方. 同上.
x和y. 1> x, y>0.
情況:|x-y|相差》0.1
|x-y|相差<0.1
|x-y|相差=0.1
分別比較: 數1: 大數為底, 小數為指. 數2: 小數為底, 大數為指. 的大小.
情況:相差=0.1時, 數1>數2. 最簡單的: 0.5^0.4和0.4^0.5次方. 同上
情況:相差》0.1時, 數1>數2. 最簡單的: 0.5^0.3和0.3^0.5次方. 同上
情況:相差<0.1時, 數1>數2. 最簡單的: 0.45^0.4和0.4^0.45次方. 同上
6樓：一止
首先我預設你知道pi>e
兩邊取ln可得
pi ln(e) 和 e ln(pi)
大家都除以pi*e可得
ln(e)/e and ln(pi)/pi這就變成問乙個函式ln(x)/x的單調性問題了求導就好了，右邊小。
7樓：夢魘使者
建構函式fx=e^x/x^e(0f,x=x^ee^x-ex^e-1e^x/x^2e
f,x=x^e-1e^x(x-e)/x^2e=0 x=ef,x>0e=1恆成立
所以當x=π時也有以上成立
e^π>π^e所以
8樓：Wuxinsam
可以證明，對於任何 x>=1, x是!=e的實數，e^x >x^e.
先要證明在上述條件下，ln(e^x/x^e)>0.
設函式y(x)=ln(e^x/x^e)=ln(e^x)-ln(x^e)=x-e.ln(x)
取導數y』(x)=1-e/x
當x=e時 y』(x)=0
當x=e時 y(x)有唯一極值e-e.ln(e)=0.
而且當xe時y』(x)>0 y單調上公升，可知0為極小值。
所以上述條件下，ln(e^x/x^e)>0 => e^x/x^e>1 =>e^x >x^e.
9樓：歌於途
寫乙個高中常用的方法吧，設乙個函式
f(x)=x^(a-x) a＞0，x>0（可以把a換成e+π）可以直接對f求導，判斷f是乙個減函式
或者對ln（f）求導，ln(f)是單調減函式，取對數不改變函式單調性，f是單調減函式
最後e<π，所以e^π>π^e
10樓：Leei Jaw
比大小的兩種常見方法，取差看正負，對於兩個正數我們還可以取商和1比大小. 這裡取差並不好處理. 我們可以取商. 令 ，取其導數並置為0，有
解得當 時，有. 當 e" eeimg="1"/>時， 為正，這就說明 在 上單調遞增. 又因為 和 e" eeimg="1"/>，所以 1" eeimg="1"/>.
這就意味著 \pi^e" eeimg="1"/>.
11樓：Achilles
兩邊取In，左邊是兀，右邊是In(兀^e)看到In，就會想著求個導，那麼這裡用變數x替換兀。
左邊求導是1，右邊求導是e/x，顯然左邊倒數在x＞e的時候一直比右邊大。就會想要看看x取e誰大。
一看，哦都是e^e。可以，訓練有素，那兀這個地方顯然就左邊＞右邊
12樓：
Ln(x)是凸函式，所以Ln(x)/x是原點到（x,L n(x))直線的斜率是減函式，之後把pi和e帶進去就知道答案了。
13樓：奶味藍
說真的我覺得上面很多答主都是在無病呻吟，很多答主指出是面試，沒有時間求導，但是事實是他們給出的方法計算量比求導還大。尬住。
14樓：留白由你妄想
高中生來答一波
首先設定a^b b^a 取對數大前提 a，b＞0然後就可以得是a ln b 與 b ln a比大小然後假設a^b比b^a大
所以得 ln a /a＞ln b/b
建構函式ln x/x
簡單求導可得原函式在0到e之前單調遞增 e之後單調遞減可推出e^x必然大於x^e
15樓：
想起之前做過乙個程式設計題目，給定x大於零，比較x^x與x！的大小，當時傻傻的寫高精度，後來被告知可以兩邊同時取對數，當場懵逼。
這個題也可以這樣，顯然兩個數都大於0，兩邊同時取ln，變為pi和eln(pi) ，你構造x-elnx的函式，發現當x取e時函式取0，其餘情況大於0，則pi-eln(pi) 大於0，所以前者大於後者。
16樓：HenryWang
設兩數的大小關係為R，兩邊取對數得πRe lnπ，兩邊同時除以ln π得π/ln π R e/ln e。隨後，由於函式y=ln x/x在x＞e時遞減，則該函式的倒數在該取值範圍遞增，而π＞e，則左邊大於右邊，因此所設關係R為大於號。
17樓：麻婆利烏斯
我就用高中的方法來做吧
設F(x)=x/e-lnx，x＞0
則其導數f(x)=1/e-1/x，
當x=e時，f(x)=0，
當x＜e時，f(x)＜0，
當x＞e時，f(x)＞0，
則x=e處，可以取得F(x)的最小值，
F(e)=1－1=0，
所以有F(x)≥0恆成立，同理F(π)＞0即π/e＞lnπ=lgπ/lge(換底公式)，移項有πlge＞elgπ，
lge^π＞lgπ^e，
lgx是個單調遞增的函式我就不說了哈。懂的都懂[手動狗頭]所以就有了e^π＞π^e
18樓：Chaseting
方法一：最簡單的演算法直接算出e^π和π^e，然後進行比較。
方法二：用自變數x（x＞0）代替無理數π，進行對e^x和x^e函式的的比較
直接取極限 x趨向於∞，lim e^x/x^e=∞說明e^x增長的速度比x^e速率要快
所以結論e^π＞π^e
19樓：千里未來
利用無理指數冪的不足近似值與過剩近似值估算法（高中數學B版必修一88頁），可計算得：
e∧π≈23.1
π∧e≈22.5
所以e∧π＞π∧e
證畢我不喜歡研究技巧解法，因為存在一些問題，它們不存在技巧解法，所以研究技巧解法是有上限的——雖然前期簡單，但越往後越難。而通用解法是無上限的，並且難度始終如一。
此題中，通用解法就是不足近似值與過剩近似值估算法。
20樓：買女孩的小火柴
換底得πlne elnπ
同除πe,得lne/e lnπ/π
建構函式f(x)=lnx/x
求導易得f(x)在(0,e)單增,（e,+無窮）單減故有elne＞πlnπ
故有e^π＞π^e
21樓：翹楚兒郎
已進入社會很多年的我這道題算錯了。
一般只是簡單的問大小而不要求過程，都只給一兩秒的時間的話，我和別人的區別就是我從來都是「有根據的蒙」，而且這方法不說百分百實用，但正確率一般90%以上，畢竟人無完人嘛，我不可能每次都猜對。
我是咋猜的呢？
我就把π=3，e=2（假定）
我就比較2的3次方和3的2次方的大小，8小於9，於是我猜錯了，但是我不後悔，因為這招大部分時間最簡單使用，題幹的問題適合學術，並不是適合大部分的生活常識。生活中用一下「夾逼」，就能快速解決很多問題，當然，對結果要求嚴謹的除外。
用眼睛一瞪就知道這兩數差不多大，得用計算器哈哈，要是結果猜對猜錯無所謂，那麼就猜小啦。
22樓：Shreck Ye
其實對這種底數指數交換比大小的問題有個簡單結論：對正數 和 ， y^x" eeimg="1"/>當且僅當 \frac" eeimg="1"/>，（求導分析過程其他答案寫得很詳細了我就省略了，為直觀可以直接看下面的影象）所以其實 就是分界點，當兩個數同時大於等於或者小於等於 時，離 近的那個做底數能使結果更大。由此也可以匯出：
只要底數是 ，對於任意正數 ，都有 。
(ln x) / x 的影象
23樓：王峰.Fred
初中時就遇到這個問題
當時用特殊值法，迷惑的是：
2的3次方，3的2次方，後者大
3的4次方，4的3次方，前者大
想想e等於2.718281828459，接近3π等於3.141592653589，也接近3然後就按3和4的套路
多麼樸實的初中生啊我
24樓：Snow丶Wizard
e約等於2.7，pi約等於3.1，
2.7的平方小於9但是估算應該在8左右，因為2.7超過2.5，8×2.7約為22，
3.1平方約為9，剩下大概0.5次方，肯定小於22所以前者大
25樓：Elenath
比較大小的話定性就可以
同取對數（正相關函式不影響比較），得
πloge和elogπ
然後相除，得
(π/e)*(loge/logπ) ，
對數函式在1到正無窮增長的速度比係數為1的線性函式慢（可以求導驗證），所以
π/e 大於logπ/loge
取倒數後反過來得
loge/logπ大於e/π，
而π/e乘以它的倒數得1，所以乘以比它倒數還大的(loge/logπ)自然是大於1的，所以上面的分式大於1，也就是e^π更大
請問平安e生保和人壽如e康悅c哪個更適合長期購入？謝謝 ？
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