1樓：SilverBeet
這個問題我來硬答一下，那些高等數學的方法就不多說了，什麼迭代法，泰勒展開，兩分法，連分屍，等等等等都可以。我當時遇到乙個民科，說他解出了一元五次方程，用的是中國傳統的四元術，非常複雜，他是不是真的解出其代數解，我不關心，但是有一點是肯定的，民科就是比較喜歡玩初等數學，因為初等數學在解決算數或者線性空間的幾何問題時確實有其簡單優越的特性。那麼回到求根號3這個問題，這個是很基本的問題，中國古代早就有筆算開方根的歷史了，我們來拜一下祖沖之，希望』他能給我們帶來遠在星辰之外的好運氣。
'(這句話出自《暗算》中的黃依依)。
其實從這個演算法裡也可以看出，這也是一種迭代法，把商值一直不停地乘以20，然後找出個位數試商，不過中國古代的數學一般可以發明一套方法，就是缺少系統的嚴謹的理論證明。不過不可否認，這個筆算開方根的方法真不錯。
2樓：
本來以為有好幾個寫連分數的已經夠可以了
然而看到一串1+2+1+2+，感覺這個計算還是不夠簡潔，而且連分數迭代的性質相當差勁
於是還是放出Pell方程方法好了
首先，（借助連分數）求出， 的乙個解 x=2,y=1
然後進行一步神奇的計算
既然這個式子等於1……
代入x=2,y=1，得到
於是有遞推關係
從而也就是
本來我們是可以寫遞推式的，然而，之所以在這裡寫成矩陣的形式是因為，遞推效率真的很低
寫成矩陣最大的好處是，矩陣的乘方可以跳著算，而遞推式必須一次算到頭
這樣，利用矩陣乘方，我們可以非常方便地算出一系列的xnyn，而xn/yn的值相當接近根號3
這種演算法，每次得到的數字都是乙個最優的有理數（最優指的是，對這個結果，你不可能找到乙個分母更小而誤差更小的有理數，哪怕分母稍大一點，誤差也不會更小。）
類似的方法也可以用在其他數字的開根過程中
這個演算法的缺陷在於，我們需要解乙個Pell方程，而這樣的方程的解，雖然存在，但不一定好找
3樓：徐峰
我也不知道為啥這麼做，初中時學（a+b)^2=a^2+b^2+2ab 這個公式感悟來的，好多年沒去研究了，明天我再想想為啥這樣行。
4樓：鳩摩鄭智
剛好想到別的問題裡面有關於這個的。
根據勾股定理，乙個直角三角形，三個角分別是30°，60°，90°斜邊為2（單位自便），短直角邊是1，另外乙個直角邊就是根號三。量去。
5樓：凡心一點
記得初中的時候我們老師教過我們一種手開二次根式法，具體運算過程如下：
1. 將開平方根的數從小數點的分別向左向右每兩位一組分開。
2. 將最左邊的一組數減去最接近又小於它的平方數，並將平方數的開方記下。
3. 將上一步所得之差乘100。
4. 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個位數，令所得乘積不大於上一步所得之差乘以100。然後減去所得乘積。
5.重複第2步,直到找到答案 。
6樓：爾康
有乙個很笨的算根號但是在考試忘帶計算器的時候很通用的方法。比起大家用的方法可能笨挺多的。
首先，因為3在1和4中間，所以根號3在1和4之間然後，通過從1.1到1.9的計算，發現3在1.7的平方到1.8的平方之間，所以根號3在1.7到1.8之間
以此類推
如果我說的不夠清楚，那麼用python表示就是這樣考試的時候一般算根號只需要算最多兩位，所以用這個方法算，再加上二分法（就比如算十分位，就從1.5開始算，然後大了就算1.2，小了就算1.
7）就挺方便的。
7樓：M Zhang
我也提供另一種思路， 可以看成下面的凸優化問題的解：
所以凸優化的各種優化演算法都可以用來計算 ，如各位說得牛頓法也算是其中一種：
或者是梯度下降法
。 是乙個可調的引數。當然，梯度下降法速度沒有牛頓法快。
8樓：
構造數列的方法有人已經說過了，但捨不得我幾個小時的草稿，還是貼上來吧，嗯，寫個更詳細的。。
原理：設存在數列，遞推公式為 ，它的極限是等比數列，比例係數 ，滿足一元二次方程 ，其中乙個解為 ；
要求 ，關鍵是構造出b、c使得 ，則 ，因此我們找到b、c並多迭代幾次 就可以了。
對於 ，可令(b,c)=(2,2)，則 ， ，則 ，令 ，此數列的前20項為：
1，2，6，16，44，120，328，896，2448，6688，18272，49920，136384，372608，1017984，2781184，7598336，20759040，56714752，154947584
迭代到 的誤差0.02， 的誤差在小數點後第五位，收斂的不夠快；
(b,c)還可以取(4,-1)、(7,-1/4)、(26,-1/4)、(97,-1/4)等，取成比較小的整數適合手算，但b/c越大，收斂越快，如果取(b,c)=(7,-1/4)， ，算到 就能精確到 小數點後第14位，手算的話算到 就可以了。如果取(b,c)=(97,-1/4)， ，僅算到 就能精確到 小數點後第14位。
其它 遞推數列的構造：
對於 ，可令(b,c)=(2,1)， ， ，則 ，令 ，此數列的前20項為：
1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，5741，13860，33461，80782，195025，470832，1136689，2744210，6625109，15994428
，相對標準值的誤差為0.002453，第一位不同數字在小數點後第三位；
，相對標準值1.414213562的誤差為3.6E-7，第一位不同數字在小數點後第7位；
，誤差8.2E-15，足夠精確了。
對於 ，很容易找到(b,c)=(1,1)， ，即斐波那契數列， ，則 ；
對於 ，(b,c)=(4,3)， ， ；
對於 ，存在(b,c)=(2,10)、(4,7)、(6,2)，對應的q分別為、 、 ；
對於 ，取(b,c)=(3,1)， ， ，則 ；
各種構造的收斂速度如下：
亂猜的相對誤差 與迭代次數d的關係：
與連分數的關係：
用這個方法中的q可以構造 的連分數，例
(b,c)=(2,2)時， ，解為 ，方程可化為 ， 即， ;
(b,c)=(4,-1)時， ，解為 ，方程可化為 ， 即， 。
但匯出 的連分數遠不用這麼麻煩，直接令 ， ，則： 連分數逼近的相對誤差 也隨著迭代次數d以指數形式遞減：
9樓：
構造數列：
an+1=2an+2an-1
不妨取a1=1，a2=1
則an為：
1，1，4，10，28，76，208，568，1552，4240，11584，，，，
然後：11584/4240-1=1.73207，其實就是不動點法。k
10樓：Heat Lion
這個問題一般人們會想到使用牛頓法、不動點原理或連分數來逼近，這裡我提供乙個不同的思路，原理上講可能只是牛頓法、不動點法或連分數的某個特例，但一方面希望簡單易懂，另一方面希望拋磚引玉。
考慮這個式子： ，容易證明：
這表明，對 做冪運算，隨著冪增大，會收斂到0.
於是我們先考慮 的平方：
如果我們認為右邊比較接近 0 ，那麼就有
接下來考慮 的平方：
如果我們認為右邊比較接近 0 ， 就有：
這樣不斷平方就能得到誤差越來越小的近似分數。
誤差分析：
由於：從而：
同理：從而：
這個時候估計的誤差已經接近0.001了，而且由於平方之後分母會變大，所以誤差收斂得會比較快。
11樓：「已登出」
當然是用牛頓迭代法啦！
求 的值，即求 的根,典型的非線性代數方程，用牛頓迭代法。牛頓迭代法步驟如下：
對於函式 ，求 的根，則有
因為 ，迭代初值 可以取 ，迭代幾步即可得到精度很高的數值解。
用 MATLAB寫幾行程式就OK了
format long
x=1.5;
er=1;
tol=1e-8;
iter=0;
while er>tol
xn=x-(x^2-3)/(2*x);
er=abs((xn-x)/x);
x=xn;
iter=iter+1;
end迭代4步結果如下
計算四步精度就能達到8位小數。
12樓：Wladmyr
還可以用插值法呀。10到19的平方應該會背吧，考慮到：
建立差分表（4位有效數字）：
2.56 1.6
2.89 1.7 0.
30303.24 1.8 0.
2857 -0.02543.61 1.
9 0.2703 -0.0214 0.
0038
f(3)=1.6+0.3030*(3-2.
56)+(-0.0254)*(3-2.56)(3-2.
89)+0.0038(3-2.56)(3-2.
89)*（3-3.24）=1.732
13樓：
寫乙個「手算」的回答吧，只用到加法、乘法和除法：
嗯，收斂得還是不夠快~ 離 1.73205081差的還有點遠，換乙個：
14樓：「已登出」
這個演算法來自於千年之前的美索不達公尺亞平原（歷史和地理都不好的我也不知道那是啥地方），當時 的精度已經達到60進製下的兩到三位小數（具體幾位記不得了，如果精度達到兩位的話，誤差已經小於 了）。
具體計算方法如下，假設需要開平方的數值為 。
首先選取乙個數作為乙個近似值 ，此數值可以任意取得，當然和精確值越接近越好。
然後用 除以這個近似值，並原本的近似值將與商做平均得到新的平均值 。
不斷重複第二步，直至新老近似值相等或達到計算所需精度。
現在令 ，計算 的近似值。
首先取乙個近似值1。
第一次迭代： 則新的近似值為2；
第二次迭代： ,則新的近似值為1.75；
可以看到在第三次迭代精度已經挺高了，，，（這個收斂速度也是挺超過我的預期的，估計是3比較小比較好計算）
15樓：
哥哥們啊，我記得初中課本上講過手算開方的方法，這麼多條答案下來全是展開方程？來幾個中學生能懂的方法行嗎？
好處是，只要會乘法就能算。精度自己掌握（有時只需要兩三位有效數字，一估計就出來了）。可以擴充套件到高次冪。
16樓：呂蒙正Incubator
用0x5f37642f算1/√3，然後算倒數。
public static float invSqrt(float x) {
float xhalf = 0.5f * x;
int i = Float.floatToIntBits(x);
i = 0x5f37642f - (i >> 1);
x = Float.intBitsToFloat(i);
x = x * (1.5f - xhalf * x * x);
return 1 / x;
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