1樓：甄景賢
差不多兩年前問的，現在自問自答
這是比較簡單的解釋，暫時我的理解就這個水平……
Fourier 變換和 spectrum 的關係是頗複雜的： 它和 multiplier operator 有關。
例如，卷積 的 Fourier 變換，是 f 和 g 的 Fourier 變換的乘積:
換句話說，Fourier 變換可以將某些複雜變換變成簡單的乘積。
給定乙個運算元 (operator)，例如 L，如果它是有限矩陣，它的 spectrum 可以用 eigen-value-decomposition 得出，亦即 ，其中 = diagonal matrix，它的對角線是所有 eigen-values 的值。
這個 operator L 作用在一些函式上，而如果將這些被作用的函式做 Fourier 變換，則原本的 operator L 變成乘在 Fourier 變換了的那些函式上。 例如 其中 就是 f 的 Fourier 變換，或者說 就是 Fourier 變換。
以上基本上是 spectral theorem 的內容，是 Hilbert 提出的，它是量子力學的基石。 "Spectrum" 這個詞是 Hilbert 引入的，後來證實和原子的光譜有關，非常巧妙。
2樓：Dialektik
自伴運算元等價類的分類：令 為 上的乙個正Radon測度， 為 的乙個 可測函式。我們把 叫做乙個multiplicity function。
令 為兩個multiplicity functions。我們說它們等價，記作 如果下面兩個條件滿足：
(a) 對於任意乙個 的Borel set ， 當且僅當 。
(b) 函式 和 幾乎處處相等。
下面我們會說明， 上multiplicity function的等價類刻畫了自伴運算元作用的等價類。若 為乙個multiplicity function，我們定義Hilbert space 由所有 構成，這裡 為定義在 上的 可測函式；對任意 ， （注：如果 則 代表乙個標準的具有無限可數個基的Hilbert space）；並且 是平方可積的：
在文獻裡，這個Hilbert space通常寫成 。（這個構造叫做direct integral，是direct sum的推廣）。
現在我們構造 上的乙個自伴運算元 。若 則 。容易證明，若 ，則 等價於 ：
定義 ，對於任意 ，我們令 。這裡 是Radon-Nicodym導數，由條件(a)可知這個函式幾乎處處有限且非零。易證 是乙個實現了上述兩個運算元等價的酉運算元。
反之，也可以證若 等價於 ，則 。
最後，自伴運算元譜理論可以歸納成：若 為 的乙個自伴運算元，則必定存在某個multiplicity function ，使得 等價於 。
自伴運算元譜理論和傅利葉變換：令 為 上的勒貝格測度除以 ， ，定義 上的無界自伴運算元 。那麼這個自伴運算元作用等價於 ，這裡 代表 上取常值 的函式。
具體寫出來，那麼 ，而實現這個等價的unitary operator就是傅利葉變換運算元 。
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