1樓：
弱拓撲引入主要是還是為了擴大強拓撲下的列緊集的範圍。
根據Smulian定理，Banach空間中的弱閉列緊集等價於弱緊集，而Kakutani定理更是告訴我們自反Banach空間上的單位球弱緊。Mazur定理告訴我們Banach空間上弱閉凸集等於強閉凸集。因此我們可以說自反Banach空間上有界閉凸集都是弱緊，也都是弱列緊的。
這有什麼好處呢？想想在有限維空間上我們證明函式在有界閉集上證明最小值存在性時，構造的只能是乙個極小化序列，要它們的極限存在，最小值點才能存在，是不是用到了列緊的性質？無窮維空間上，我們證明定義於自反Banach空間上的運算元方程Au=f有解。
可以先在有限維上證明A u_n=f_n 有解（f _n 可以看作是 f在有限維空間上的投影，所以f_n 可以強收斂到f）。然後證明u_n對n一致有界，因此直接得到u_n 存在子列弱收斂於u。為了保證A u＝f，本質上要求A 是弱強閉運算元，這就有很多單調性加各種連續性來保證了。
於是（u,f）就在A的影象上，也就是Au=f。
緊運算元的乙個應用就是擴大Brouwer不動點定理適用範圍（有限維空間上連續運算元在對映為自身到自身的有界閉凸集上有不動點）為Schauder不動點定理。而Schauder不動點定理說，Banach空間裡，緊運算元在對映為自身到自身的有界閉凸集上有不動點。其實是用到了緊運算元有限秩逼近性質，用Brower不動點定理證明A_n u_n=u_n有解，然後利用A的緊運算元性質證明u_n強收斂，以及Au =u 。
注意Brouwer不動點定理等價於運算元方程解的存在性，只要我們把\lambdaA+I-\lambda f看做新的運算元B，則B的不動點就是Au=f的解。
這方面我有時間了再說吧
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