1樓：Restl1s
昨天看習題課剛好聽助教講過，（可能最簡單的）例子是代數整數環，其中 是 的根
但證明也不容易，在筆記裡我抄了點大概證明過程：https://zhuanlan /p/136546713
2樓：zero
幫你搜了一下：
Ring of integers is a PID but not a Euclidean domain
Principal ideal domain not euclidean
來自數論的栗子主要是： 二次擴域 的整數環，假如它是個ED，假設Norm函式是N，取N(a)最小的乙個元素，考慮輾轉相除: 其中r應該有更小的Norm，所以 只可能是units。
考慮 3" eeimg="1"/>的case，則r只可能是0和 。 所以 要麼是 要麼是 。
這時候假如我們考慮乙個多項式在 上有解而在 和 上無解，那麼可以直接得到矛盾：假如 ，則 是 的最小多項式，但是此時易見該多項式在 上沒有解，在 的時候該多項式在 上也無解。所以給出乙個PID但不是ED的栗子
Remark: 這裡的自然只能取 ，否則不是PID
為什麼栗子這麼難找呢？
第二個答案中提到， 在承認廣義黎曼假設（GRH）的情況下，乙個帶有無窮多的units的number ring假如是UFD則它是ED的（謝 @Y Huang提醒）。特別的，二次實擴張的整數環都是ED。
有沒有不那麼數論的栗子呢？
還是在第二個答案中提到了： 是乙個PID但不是ED的栗子（ 是任何域）
但是證明比較長（是乙個10頁的小note），可能不適合初學者現在就去啃……
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