1樓：
這個可以直接從拓撲學的 Lusternik–Schnirelmann 定理推出
Lusternik–Schnirelmann 定理：若 n 維球面 被 n+1 個閉集 所覆蓋，則至少有乙個 包含一對對徑點.
點光源所照亮的球面部分肯定不包含一對對徑點，所以2維球面不可能被3個點光源照亮
2樓：易宇
在實際物體中，透明球體以及光源在內部的情況就不用說了。不透明球體，選取對應球體材料等離激元共振頻率的光源，光將和表面電子形成共振並傳導至整個球體。不透明球體，光源不對應spp共振頻率，需要四個光源。
其它答主已論述過，不再贅述。
3樓：Silenlion
emmmm分享一下自己的想法
首先假設球面存在直徑（不是無窮小）
第二，點光源在球體外，（內部的話乙個就夠了）第三，點光源和球心距離非無窮
那麼，最少需要四個
為啥呢，兩個，，，不可能
三個照射面積最大的時候是三個光源與圓心在乙個平面內，此時，球心正上方是照射不到的
那四個呢？只需要按照正四面體四個頂角的空間排列就可以了當然不考慮光的衍射哈哈哈
4樓：
#我只是來吐個槽#
回答裡說由地球晝夜可證，照亮乙個球面只需要兩個無窮遠處點光源的……真的不是在逗麼……
太陽的直徑是1392000千公尺
地球的直徑是12756千公尺
大概效果是
5樓：家居多肉動物
光源就是球外接多面體的頂點
在三維空間裡，至少需要4個點構成乙個多面體
同理，在n維空間裡，至少需要n+1點構成乙個基本n維物體
6樓：
若照亮球面內部，易知，只需乙個點光源;
若照亮球面外部，設想這樣乙個房間，房間四周牆壁以及天花板地板都是平面鏡。房間中放置乙個球（不妨認為是懸空的），另外有乙個點光源。勢必可以找到乙個位置使得點光源發出的光線經過無數次反射後，照亮整個球面。
綜上所述，至少需要乙個點光源即可滿足條件。
7樓：Taiat
寫乙個幾何上的解答.
我們先考慮乙個引理：對於任意被某一點光源照亮的球面的集合S，都存在乙個半球面包含S且這個半球面的大圓（半徑等於球的半徑）上的點構成的集合不與S相交.從而被某個點光源照亮的球的點構成的集合中任意兩點的長度小於球的直徑.
而且任意弧長小於大圓（半徑等於球的半徑）的半周長（*）.
我們分步地放置光源，對於光源1，我們考慮球上的乙個大圓a（半徑等於球的半徑），構成這個大圓的點的集合與光源1照亮的點的集合不交.
我們考慮第二個點光源，這個光源無法照亮至少一半的a上的點（否則於*矛盾），從而存在一對對徑點（u，v）使得u，v既不被1照亮，也不被2照亮.
若第三個光源同時照亮u，v，由於|uv|=2R為球的直徑，這與引理矛盾.
綜上所述，任意三個光源不可能照亮乙個球面.
對於四個點，如其他回答考慮四面體包含該球.
8樓：cvgmt
感覺應該用凸分析裡面的理論和方法嚴格且直觀地處理這個問題。
要證明兩方面。
一，適當放置 個點，是可以
二，任意放置 個點都不可以。
回答裡面沒有看到令人滿意的嚴格的證明，直觀成分太多了。
首先，我們給出球面上一點能被照射到的充分必要條件。不妨設球心在原點。
球面上一點是 ，光源是 ，光源在球外，故 \|\vec\|" eeimg="1"/>，又光源 到達球面上 這個點的路徑是 ，其中 , 當 從 變動到 , 點 移動到球面上點 ，且要求這段路徑在球外，從而不被遮擋，於是，
平方以後展開上面式子，
上面式子在 0" eeimg="1"/>的時候化簡為
令 ，我們有
反過來，如果有 這個條件，明顯就知道上述展開的不等式是對的。
這個條件現在等價於
於是，我們不妨設球是單位球，條件變成
接著，我們利用這個條件，嚴格證明 個光源是不夠的， 個光源可以夠。
我們先通過數學歸納法證明，存在 的一組基，使得
（過程稍長，待證，直觀上就是構造出兩兩夾角為 度的基底，其實只要證明度量矩陣 是正定的，然後引用任意乙個正定的矩陣都可以分解為 ，其中 是非奇異矩陣）
接著取重心
考慮那麼我們有
且接著單位化，得到（不妨用同樣的字母）單位向量
然後我們以 為頂點構造凸包（也就是有 個頂點，內接於單位球面的單形）
我們令 為 到
這個面的距離（對任意給定的 ）
或者我們考慮開集 0" eeimg="1"/>,這個開集的內點 可以作半徑為某個正數 的球完全包含在凸包內。
我們再令 ，即以 相似比得到的凸包（單形）把單位球包含在裡面。
現在可以證明原來的結論了。
對球上任意一點，
那麼一定存在 ，使得 ，否則，對任意 ,
都乘以 求和，有
矛盾！下面我們證明只有 個是不行的。對 這 個點，我們有，這 個向量張成至多 維空間，取這個空間的正交補空間中隨便乙個向量，單位化以後得到 ，於是 ，即 ，
那麼我們有 和 這兩個中的乙個一定不能被光照，否則，存在
由於對 ,
於是總有
相加，有 ，矛盾！
9樓：zion
增加說明，太陽能照亮大半個地球，你看到的朝陽和夕陽其實都在地平線以下。
以下是原答案:
對地球來說，只需要兩個，因為大氣折射。
10樓：詠哥
我看這題目也沒什麼條件限制，那我就想著類似於太陽地球好了。把太陽與地球距離拉得足夠遠，把太Sunny變得足夠強，把地球變得足夠小，好了，至少需要2個。如果真有完美主義者，不考慮極限就想著理論，那至少4個。
我的答案算簡潔了。
11樓：八江月
你說的不太對。在二維平面上，如果兩個點光源無限遠，那麼乙個在其中間的圓將會被照亮。
乙個點光源發出兩條與圓相切的光線，而對無限遠的點光源，切點連線將會是圓的直徑。即乙個點光源可以照亮一半，兩個就可以滿足條件。
三維空間中同理。所以三個。
12樓：安德的
內切圓，切球問題唄。請問二維空間中有「二角形」有內切圓嗎？三維空間中有「三面體」有內切球嗎？
同樣的，四維空間中，存在「內切四維球」的基本元素應當在四維空間裡包含五個頂點。五個頂點即是五個點光源。
只是模擬推理。
13樓：Allen
我說乙個不嚴謹但是讓我30s之內想到答案的思路:
GPS衛星覆蓋全球至少12顆，gps定位需要用到至少3顆。
12÷3=4 答案是4顆
14樓：讀之行
我不是專業數學，給不出專業的證明，但是不妨利用基礎的高數知識知識和常識判斷一下吧
乙個球體可以用拓撲的概念壓縮成乙個圓形，也就是說，兩個對稱極點的光源平行照射，可以覆蓋除了圓周外的每乙個點。這個球體是乙個放到三圍座標系中，就是赤道的的乙個截面。這個截面橫著看在平行視野中就是一條線段，而你沒有辦法看到對面的線段。
因此需要兩個光源才能照射到正反兩條線段。
因此一共需要四個點
15樓：
這個問題不就等價與三維空間中最少幾個點可以確定乙個有內切球的幾何體麼……
四個啊……正四面體有內切球，那麼四個頂點上發出的光會各自照亮一部分球面。
少於四個沒辦法構成三維空間的幾何體。（切點可看作有光無光的臨界點）以及，我猜有些人會覺得既然同步軌道衛星三顆就可以覆蓋全球範圍，這個應該類似。然鵝南北極幾乎沒有人類活動，他們需要覆蓋的只是中間一部分。
所以應該簡化成圓，同前面一樣可得最少三個。但是通訊不只是乙個緯度，而且三個衛星覆蓋會導致交界處高緯度地區沒有訊號。所以會有不只三顆衛星。
16樓：靈劍
給乙個代數一點的方法。點光源能照亮球面上某個點的條件是，點到光源連線形成的向量與該點的法向量夾角小於90°，也就是向量內積大於0。不難發現，由於法向量與球心到球面點的連線是同向的，因而前面的內積嚴格小於球心到光源連線與法向量的內積，而只要球的半徑足夠小，兩者的差距可以任意小。
這樣，我們只需要研究球心到光源連線的向量，與任意球面法向量的內積即可，如果該點可以照亮，則至少有乙個光源對應向量，與這個法向量的內積為正。
設n維空間中有m個點光源，這m個點光源對應向量按行向量組合，可以構成乙個m×n的矩陣，如果它乘以任意向量得到的結果，都至少有乙個座標為正，則可以照亮整個球面。下面證明至少m=n+1才能符合前面的條件。
若m若m=n，如果矩陣不滿秩，跟前面的情況一樣；如果矩陣滿秩，則矩陣可逆，那麼A^(-1) * (-1, -1, ..., -1)^T這個向量不滿足條件，因而無法全部照亮。
任取乙個n維的滿秩矩陣A，補充一行(-1, -1, ..., -1) * A，則當A與某個向量的乘積各個分量都為負時，最後一行與這個向量的內積為正，也就滿足了條件。
17樓：
從幾何光學角度，照亮球外部僅用兩個光源是不夠的。但是考慮到光的衍射，假如這個球體積很小，不能忽略光的衍射，那麼兩個對立的點光源可以。
18樓：起風了
應該是乙個，把球和光源放在不均勻的高維空間中，這樣的話光可以被拉伸和彎曲（也就能照亮整個外球面），還可以從另乙個維度從球外進入到球內照亮內球面。
當然，能用蟲洞就更簡單了。
19樓：周風
如果只有乙個球面，意思是不存在牆面和其他設定的話，那麼是兩個點光源
至於赤道問題，事實上沒照到的所謂赤道是一環無限細的暗面，按三維球面來說，可以忽略，所以是兩個
20樓：雷電法王
內部乙個
外部：至少需要四個
因為p維空間內，n個點與其間連線構成封閉空間，那麼這樣的空間存在內切球，則這n個點光源能照亮乙個球面。那麼這樣空間的體積必然＞0，
顯而易見的是p為2時n為3，
p為3時n為4，
數學學的不好一些名詞不知道叫什麼，但一下這段應該都看得懂p＞3時，n至少為p＋1，否則p維空間中p個點總是可以被包含在乙個「p-1維幾何體」中內而其圍成體積為0。而p＋1時，存在一種放置方式使這p＋1個點構成p維體積＞0幾何體，固n＋1即可。
把p取2，3時自行模擬，p-1維幾何體分別是線，面
21樓：xuyuan
三維空間下
兩點：光源無限遠，光束約等於平行光，光面積無窮接近於球面積。也只能無限接近
三點：三點構成乙個平面，分平面與球相交相離兩種情況，分別證，具體證法如 @王贇 Maigo
四點：四面體
22樓：
注意到：乙個點光源照亮的區域可以看作球面上的乙個圓弧面，從而有，乙個點光源只能照亮乙個大圓的一段弧長小於半圓弧的圓弧，乙個點光源一定不能照亮球面上的某個大圓上任意一點。
於是，先選乙個點光源，選乙個不被其照亮的大圓，這個大圓至少需要三個點光源照亮，故總共需要四個。
是不是也可以這樣歸納證明n維情形呢？
如果乙個點光源在乙個反射率100 的鏡面球殼中心發光，會發生什麼？
李不禹 顯而易見的是球殼因為其全反射性，溫度不變。如果球殼內部是真空，那麼點光源不斷的發光，球殼內部不斷的積累大量光子，光子濃度越來越高，整個球殼受到均勻的向外的光壓越來越大，直到整個球殼撐爆。如果你的這個光頻率很高，那麼應該會發生光子 光子反應，生成一堆正負電子。 1 一般來說點光源自身總還是有一...
乙個點光源能夠在空間裡發出多少條光線？
nzczll 你這個問題很難回答。經典物理的答案，和量子力學的答案，也不相同。根據量子力學，這個問題本身都是錯誤的。量子力學的觀點。首先得問這個光源發出的光子頻率是多少。其次是，在空間中任何一點，都有機率觀察到光子。很難按照經典物理的觀點，計算出光線密度是多少。 易嵐 如同磁通量是描述單位面積內穿過...
人是不是都需要有至少乙個精神寄託？
澤建老弟 沉澱內心，寫點東西吧。寄託這東西，太虛無縹緲了，似乎是一種感覺，這麼多年，我似乎也在尋找這種感覺。有時候覺得內心很空洞，沒有內容，沒有想法，甚至，沒有慾望。精神寄託，在我心裡，更多想說的是，一定要有，我覺得那一定是一種動力，是一種嚮往，活下去的價值，和對未來探索的勇氣。這份寄託，一定要自己...