1樓：月前
凝聚態物理中最重要的事情之一就是描述和分類不同的相，朗道的對稱性破缺理論由一對群給出了第一次物態分類： ,其中 是系統的對稱群， 是基態的對稱群，也是 的子群。個人覺得這其實就是我們在量子力學裡氫原子的態只靠l量子數是無法完全將本徵態確定下來，於是我們引入m量子數來區分不同的態是一樣的。
在陳金泉的群表示論裡把這種方法發揚光大了，引入CSCO(對易算符完全集)的概念來標記區分不可約表示，通過CSCO-1(類算符)，CSCO-2(類算符+子群鏈類算符)，CSCO-3(類算符+子群鏈類算符+內稟群類算符)就可以將群的表示空間完全約化，並標記其中的所有不可約基。
類似的在一維不存在內稟拓撲序，一維的所有有能隙的量子態由第二群上同調(projective representation)結合MPS給出（在一維MPS永遠滴神！）： ,其中 。
在二維情況比較複雜，我以體系存在on-site對稱性 ,2+1D有能隙的玻色相為例，因為這個包含了挺多的內容的(費公尺系統有類似的結果，因為以範疇的觀點來看費公尺系統和玻色系統是平等的，這也是張量範疇作為語言的優勢之一)具體的分類過程可以分為一下四步：
1，我們知道拓撲激發是不能被局域算符產生或者湮滅，所以相應的我們有局域激發的概念，即可以被局域算符產生或者湮滅的激發。有了局域激發的概念後，我們可以構建分類的第一層：Symmetric Fusion Category(SFC) 。
如果我們考慮把所有準粒子激發收集起來，他們就形成了所謂的unitary braided fusion category C。如果我們把所有的局域激發收集起來，他們將形成乙個C的子範疇，即為 . =Rep(G),值得一提的是通過Tannaka Duality，範疇 可以重構出對稱群G的結構，簡單的說就是局域激發的fusion，braiding的資訊已經足夠我們認識這個群了，這就體現了範疇學的精神。
2，當我們結合局域激發和拓撲激發時，相中所有的激發必須形成乙個自洽的任意子模型，這就形成了上面提到過的分類的第二層：Unitary Braided Fusion Category C，描述了體態的所有準粒子激發。很明顯
3,上面兩層看起來已經分完了所有的態了，然而只有初始相中體態的激發是不夠的，我們忽略了保護邊界態的資訊。利用Unitary Modular Tensor Category M所描述的規範理論構成了分類的第三層。加上額外的來自對稱缺陷的激發，M才是真正的包含了初始相中的所有激發!
，依然 。這是C的minimal modular extension。我們把系統的對稱性提公升到了dynamical gauge group，Extrinsic symmetry defects變成了dynamical gauge flux excitation,這個過程叫做modular extension。
因為我們要盡量避免新增一些'無用'的東西，所以額外的準粒子必須和在 中的至少乙個準粒子具有non-trivial mutual statistics，這就是minimal的含義。
4，以上三層基本囊括了所有的拓撲相，唯一miss掉的是 態。 態沒有體拓撲激發但是卻帶有Chiral Central Charge，c=8的non-trivial edge states，因此我們需要新增central charge去完善分類，同時因為在stacking的時候central charge累加，所以這是乙個很好的標記拓撲相的補充。
所以最後帶有on-site對稱性的2+1D拓撲相被分類為：（ ; ）
2樓：神秘博士DoctorWu
既然所有的能隙都是畫在同樣的圖上的，那麼一切都是接近零溫時候電子填充的規則導致的。不管是不是廢話，就講算不算一種統一？
允許電子填充情況改變能級分布。例子有BCS。半填充時候能級高一些，滿填充時候能級低一些，之間的「能隙」已經被指認成為庫珀對配對能隙。
上下自旋的能級被磁場劈裂也產生能隙。也有半填充和滿填充的差距。目前沒有被指認成配對能隙。
我們保留過「庫珀對」詞語，並指認配對與滿填充沒有差別。
我們挖掘過電阻和超導是完全互補的概念，本應當同時解決清楚。現有的電阻解釋是無端擴大範圍的。
3樓：張智浩
我來簡單寫一下我知道的故事。
假如我們只關心零溫下的有能隙量子系統，假如我們只關心「巨集觀」或者說低能性質，那麼看起來事情似乎很簡單：有能隙的意思是基態和上面的激發態有乙個有限的差值，但是現在又是零溫，那麼直覺上我們就只能看到基態。那豈不是所有有能隙的系統下看起來都一樣（只有基態），所以有能隙的系統都是平凡的（指基態是直積態的系統）？
如果覺得這種直覺不夠嚴格，那麼也可以證明：有能隙時所有關聯函式都是隨著距離指數衰減的，因此「巨集觀」下似乎沒什麼可觀測量。既然沒什麼可觀測量，那不就跟平凡的系統是一樣的麼？
不過，先等等，雖然我們只能看到基態，但這不代表基態就沒有任何資訊了。至少，基態子空間的維數（稱為基態簡併度）就是乙個可觀測量。不過，通常的經驗告訴我們，簡併通常都是由對稱性帶來的，只要加乙個破壞對稱性的微擾就會解除簡併（作為簡單的例子，量子力學裡面都學過塞曼效應）。
那麼，如果我們考慮的系統不帶任何對稱性——這意味著我們可以加任意的不保持任何對稱性的（區域性）微擾——那麼基態的偶然簡併就會被解除。這似乎是說基態簡併度不會給出新的東西，有幾重簡併似乎只是意味著幾重平凡系統的「直和」。
但非平凡的事情就在這裡發生了。時間到了2023年（注：這一段歷史我不是很熟，現在在火車上憑記憶寫的，暫時沒有具體去找），文小剛及其合作者考慮了把 chiral spin liquid 以及 fractional quantum Hall state 放在任意的二維（緊定向）曲面上並計算其基態簡併度，發現：
基態簡併度是乙個拓撲不變數，即只依賴於二維空間流形的拓撲；
不同的系統放在同乙個曲面上的基態簡併度有可能是不同的；
基態簡併度在加乙個任意的區域性微擾下是不變的。
第三點意味著這一基態簡併度並不向我們上面想的那樣是從對稱性帶來的，第二點則告訴我們確實存在非平凡的有能隙系統，因為平凡的系統放在任何空間流形上基態簡併度都是 1。這樣的系統似乎超越了通常的理論，因為一方面它們沒有任何對稱性，也就幾乎不能用對稱破缺的理論來分析；但另一方面它們確實又是非平凡的系統，某種程度上我們還是覺得它們是有「序」的。基於前面的第一點，這種序被命名為「拓撲序」。
再往下就有很多故事了，我挑一些簡單說說吧：
並不是所有的有能隙系統都是拓撲序。一些性質比較好的有能隙量子系統被稱為「量子液體」，通常認為它們是拓撲序；而一般的有能隙量子系統可能性質比較差（比如 fracton 這種東西？）。
所謂「性質比較好」，我個人的理解是「能夠比較好地定義熱力學極限，低能下表現得像乙個拓撲場論」。對非拓撲序我沒什麼了解，甚至不太理解怎麼將其看成乙個相，這裡就不說了。
對拓撲序的研究比較成熟了，大概分成兩派。一派較多研究所謂「可逆」的拓撲序（意思就是，存在另乙個拓撲序使得他們「疊」起來是平凡的），方法上看以拓撲的方法比較多（各種 K-theory, cobordism, spectrum 啥的，具體我也不太懂），廣義地說研究 SPT 或者各種自由費公尺子、拓撲絕緣體什麼的也能歸類到這裡。另一派則完全忽略可逆的拓撲序，轉而考慮一般拓撲序裡面的激發，即所謂的「任意子」（可逆的拓撲序裡面沒有非平凡的任意子）。
這些任意子通常會形成乙個好的數學結構稱為張量範疇，而某種程度上這個張量範疇就能「完全」刻畫這個拓撲序的性質。所以我們可以用張量範疇以及各種表示論來研究拓撲序。可以看出來，這兩派算是「互補」的，但是怎麼將其結合起來又是另乙個問題。
我也是今年才在實際研究中意識到研究所有拓撲序的重要性，之前有個不算想法的想法（完全不知道怎麼做），最近倒是覺得有可能能做了，但是看起來非常遠。總之，對拓撲序的分類現在已經有很多結果了，但我覺得還不能說有了統一的理論——不過看起來也不急，現在知道的結果湊合一下也完全夠了。
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袁周 kubo formula計算有些軟體可以直接用的，比如Quantum Espresso中的 KGEC 1 1 http www.軟體裡面會說明一些，其餘要自己看了。 做輸運實驗的強答一波，當拋磚引玉了 Rammer,Jorgen.Quantum transport theory.CRC Pre...
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