1樓：Little Ming
基本都看了大家的回答。我想我是可以回答一下的，因為我就是研究無限維空間的，也是研究拓撲空間的。下面我想從拓撲空間角度，來說一些很有意思也很容易理解的東西。
首先，無窮維空間似乎很難想象，不過不是難想象就說明它們不存在，無窮維空間存在性是非常廣泛的。
1.兩類構成無窮維空間的形式。一般表現出來的是兩種形式的無窮維空間：一是超空間，二是函式空間。
所謂的超空間，你可以大概想象，一般的空間是點和點之間有距離，然後這些點構成空間，然後人們後面研究這些點的運動什麼什麼的，而超空間是說，閉集和閉集之間有距離，然後這些閉集構成空間，再然後研究閉集的運動。你可以看成把先前的點放大成乙個閉集，就是乙個超空間。實則超空間更貼近自然的空間，因為現實中的點是抽象出來的，不存在真正的點。
這樣子說，你不難發現普通空間就是特殊的超空間了。
所謂函式空間，就是把給定定義域和值域，上面的全體函式可以定義距離，那自然構成乙個空間咯。當然了定義域和值域的點數要無限個才行才能構成無限維的空間。舉個栗子，定義域和值域都取為單位區間為【0，1】，上面的全體連續對映拿過來，就可以構成乙個無限維的空間。
2.兩個常見的典型的無窮維空間。無窮維空間很多很多，典型的有兩個，其實有好多個，不過我喜歡的有兩個：
一是Hilbert cube (希爾伯特方體)，二是無限可數條實直線乘積構成的空間。
先說希爾伯特方體，它就是單位閉區間[0,1]無限可數乘積構成的空間，你可以想像為就是普通長方體極限的無窮維版本。
然後說無限可數條實直線乘積構成的空間，你也可以想象為，是普通二維三維空間的無窮維版本。
無限維空間和拓撲結合的乙個非常驚人的結果是：無限可數條實直線乘積構成的空間居然同胚於範函分析中最經典的空間l2空間。這個定理的出現是很有歷史意義的。
3.無窮維空間一些很有意思的不尋常的事實。
有趣結論一:關於無窮維空間維數穩定性。專業點說叫Q流形穩定定理。
人們習慣了用維度區分不同的空間，一直以為維度增加了或者減少了，空間會出現翻天覆地的變化。但在無限維空間中，維度的增加可能不痛不癢。
在有限維空間中，維數不同就不能同胚。比如R2空間和R3，按普通的理解R2為平面，R3為立體。這兩個空間不同胚，亦或者說這兩個空間肯定不同啦，這個很好理解很直觀。
但是到無窮維空間中，加有限維度後，兩個空間依舊是同胚的。比如R∞加有限維度變成R∞加n，前後得到的兩個空間是同胚的，或者說是一樣的空間。
我們把這種性質稱為無窮維空間的穩定性。
這樣子，如果三體的二向鉑的降維攻擊出現在無限維空間中，這種攻擊屁都不算！
有趣結論二：希爾伯特方體的邊界是假的。專業點說叫偽邊界。
這個或許很難理解，不過確實這樣子的，至少在我們拓撲學看來是這樣的，因為你真的找不到它的邊界。你或許認為，所有閉球體或者方體都有內部，和邊界之分。比如你吃個蘋果，給蘋果削皮，你總能削掉皮吃裡面的果肉，因為它有果肉和果皮之分。
但如果是無限維的蘋果的話，你是削不了它的皮的，因為它是假果皮。
有趣結論三：包腔不交性質。英文名叫disjoint-cells Property.
當然無限維空間太多了，不同種類的無限維空間，這種性質表現都不一樣。這裡我提到的這個disjoint cells property, 是最經典的希爾伯特方體具有的性質。這種性質也只有無限維空間才有，任何有限維空間都不會有的。
你也可以認為這是有限維空間和無限維空間的本質區別的性質。
性質的描述：任何兩個n維方體對映到無限維空間中，我們都可以經過乙個很微小的改動把這兩個n維方體變成互不相交的n維方體。什麼意思呢？
我解析下，就比如說把兩個相交的平面放到三維空間中，你總能把這兩個平面相互往另外乙個維度不同的方向稍微移一下，就能分開。這裡的稍微，是說移動後影象和先前的影象距離要多小有多小。如果兩個平面在二維空間中，你是做不到這一點的，因為你只能在平面移動，做不到稍微移動這一點。
到了無限維，我們可以把任何維度的方體，經過稍微移動進行彼此分開。
這個性質非常重要，它體現了無限維空間和有限維空間本質的區別。也正是因為這個性質，有很多有限維空間中，本來很正常的結論在無限維空間中卻變得不成立了。以及無限維空間中許多結論很奇怪卻是正確的。
也正是因為這一點，在研究無限維空間時，一些代數工具開始失效比如同調論，但一些卻可以發揚光大比如同倫論。
先寫到這吧，為了便於理解，不談嚴謹的數學，只給大家直觀感受。能看到這，請給個贊，鼓勵下小生繼續寫下去。
2樓：iop
1. 有限維內積空間中標準正交基是Hamel基，無限維不一定。
2. 賦範線性空間是有限維的充要條件是單位(閉)球是(自)列緊的。
3. 賦範線性空間是有限維的充要條件是它既是自反空間，又是Schur空間(弱收斂一定強收斂)。
4. 賦範線性空間是有限維的充要條件是單位球的Kolomogorov width趨於0。
3樓：AfterPhilosophy
幾何上看，在無窮維賦範空間 X 上，由 F. Riesz 引理，X 上的單位球可以包含可數個兩兩不交且具有相同半徑的球，也就是說 X 上不存在平移不變，且單位球測度有限的測度，例如典型的 Lebesgue 測度。容易看到，若存在這樣的測度，必須每個有界的 Borel 集的測度為零，故它是零測度，此處也可以看到，無窮維賦範空間上的單位球體積為零。
Wiener 等人在無窮維空間上發展了測度和積分理論，這與通常的 Lebesgue 測度積分不同，可見夏道行的《無窮維空間上的測度和積分》。
在有限維賦範空間上，緊性等價於有界閉。一般地，當乙個度量線性空間的一致有界閉子集是緊的，稱它具有 Heine-Borel 性。事實上可以舉出乙個具有 Heine-Borel 性的無窮維度量線性空間的例子，但其度量不可由範數誘導。
4樓：董瑞
對於複數域上的Hilbert空間 ，有限維空間和無限維空間差別還是蠻大的。比如：
如果 為乙個有限維Hilbert空間，所有線性運算元 都是有界運算元，如果 為無限維的，那不一定，比如 就是無界運算元.
如果 為乙個有限維Hilbert空間，那自伴隨運算元(self-adjoint operator)和對稱運算元(symmetric operator)是一回事兒，但無限維不一樣，自伴隨運算元比對稱運算元更強(雖然物理學家們可能不作區分。。。).
對於自伴隨運算元的譜，有限維Hilbert空間上的自伴隨運算元的譜一定全都是特徵值，但無限維空間不一定，比如Hilbert空間 上的multiplication operator, 的譜是 , 但是連續譜，沒有特徵值.
這裡只列舉了一些基本常識，更詳細的可以參考相關的泛函分析或量子力學教材。
5樓：張辰LMY
記得好像是哪個老師說過：在無限維線性空間裡，大部分代數拓撲工具都不能用了。
此言若真，應該算是有限維空間與無限維空間乙個巨大差異性。
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