1樓：吟學家
這裡面根本沒有任何玄學可言，一切都很直觀，它起源於linear system，可以告訴你這個曲線是以什麼姿勢與射影空間發生關係（嵌入）的，從而可以分類曲線。
Hartshorne已經說的非常清楚了，假設你的曲線是個平面曲線或者空間曲線，那麼每乙個hyperplane section都給了你曲線上的乙個effective divisor，而這些effective divisors反過來唯一確定了曲線上每乙個點在空間裡的位置，從而確定了曲線的嵌入。就算你的曲線C並不是嵌入在空間裡，那麼每乙個C到 的態射也可以讓你得到一族effective divisor,這裡我們同樣還是考慮hyperplane section，這就是linear system。不過有趣的問題是反過來，如果我們有一族effective divisor，能不能給出到 的態射。
首先乙個觀察就是這族divisor不能亂取，因為射影空間裡的每一對超平面可以表示成乙個rational function的零點和pole，設想你有乙個從曲線C到 的態射，那麼射影空間上的rational funcion被拉回成曲線上的rational function，這就意味著這兩個hyperplane section必須也是linear equivalent的。因此我們才把linear system |D|定義為同某個divisor D linear equivalent的effective divisor構成的集合。
你知道如果|D|由某個嵌入得到的，那麼它本身就是依射影空間（或者對偶空間）為參變數的集合（用現在的語言就是給出over 某個scheme上的line bundle以及若干global section generate它這個函子可表），所以它本身就是射影空間。所以你現在就有很多問題可以考慮了，1）怎麼從乙個linear system構造出到射影空間的態射，2）什麼時候這個態射是嵌入，3）|D|的維度是多少。為了解決這些問題你就會遇見很多相應的概念，比如very ample， base point free等等，這些都是直觀的。
你比如第乙個問題的回答，你已經知道了L(D)的global section是有限維的空間，每乙個生成元是乙個meromorphic function ，而且它的零點linear equivalent to D,（這裡核心的原因在於D在區域性上都是principle 的）所以生成元放在一起就給了你乙個到射影空間的態射。而這個態射對應的linear system就是|D|，因為射影空間裡的線性函式的拉回就是L(D)生成元的線性組合。從這裡你也可以看出，如果你另取一組基，那麼兩個態射中間差乙個射影空間的自同構。
這裡插一句，我覺得用GTM52學這個態射的construction 是非常離譜的，在那裡至少對我來說我就沒看出來幾何圖景是什麼，他也沒好好解釋，而且證明裡還有很多囫圇吞棗的細節，比如那個line bundle 為什麼同構於O(1)的pullback對於初學者的我並不是特別顯然（那時候我和題主一樣完全不知道divisor 是幹嘛用的），我是看了Daniel Murfet的 notes才把細節補上，浪費了大量的精力。後來看了黎曼曲面上的操作，我發現這一切簡直就是顯然的……GTM52那個命題只不過是更好用罷了，但是中間差著好幾個對應，使我這種自學黨真的是一頭霧水。
至於怎麼用，GTM52的習題就很說明問題了，比如可以證明乙個genus為3的曲線有乙個到 的degree為3的態射但且僅當曲線不是hyperelliptic的。所以divisor是乙個很基本的曲線的不變數，用來分類曲線。
當然了還有一些更加精細奇妙的應用，比如jacobi，但是感覺和「起源」沒什麼關係吧
2樓：墨菲特
作為往幾何方向發展的人強答一下，這個問題感覺可以多請點做數論的來說。
除子是乙個幾何物件餘一維的東西，我們一般把所有除子放在一起考慮，烹飪成除子類群（Divisor class group），即除子生成的加法群。
往幾何上看，除子一是給出相交等子流形的資訊，二是考慮其對應到Line bundle的資訊，給出它到射影空間的對映和對映度之類的資訊。子流形幾何的資訊是這個流形的內蘊資訊，除子類群本身也是作為幾何不變數存在的。
哲學地說，可以認為除子完全決定了原來的幾何物件的幾何，比如還是只談一維的時候，乙個射影曲線的Divisor class group，作為乙個abelian variety，完全決定了這個曲線，這就是Torelli theorem的幼兒園版本。
Torelli theorem
要談它的名字起源，我覺得得往數論裡看看。
我們從最簡單的曲線開始來理解除子和除子群是什麼。最簡單的曲線當然是，作為拓撲空間，它的點是所有素數（prime divisor）和0，但零不是閉點。那麼乙個除子是 ，表示有 個素數 的和， 可以是負整數，這樣的除子一一對應到乙個有理數 。
反過來考慮乙個乙個餘純函式，這個曲線上的乙個餘純函式就是乙個分數，由唯一因子分解定理，它可以寫成 的乘積，它對應的除子就是 。取餘純函式的零點和極點就是把這個分數的做因子分解。這或許就是divisor名字的由來。
這時唯一因子分解定理等價於說它的divisor class group平凡。
數論學家發現可以把素因子分解推廣到一般的數域 （ 的有限擴張）上，這時候素數變成了素理想，但整數環 的素譜依舊是乙個一維的幾何物件 ，餘一維的點是裡面的素理想，除子一一對應到分式理想（模擬分數）。就發現這種時候唯一因子分解定理不一定成立，但Divisor class group可以刻畫這類數域距離因子的唯一分解性到底有多遠，或者距離整數環變成主理想整環有多遠。在這種情形，Divisor class group就是這個數域的ideal class group，研究這個群的大小與證明一些特殊情形的費馬大定理有關。
做數論的也會去研究比如數域上橢圓曲線的群結構，或者它的rank，實際也就是其次數為零的divisors構成的子群的群結構和rank（有意思的是在算術上這些除子類群的rank是有限的，叫做Mordell-Weil theorem）。
Mordell–Weil theorem - Wikipedia
rank具體是多少關係到乙個千禧年猜想。
Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
3樓：
不懂代數幾何，但按照Wikipedia所說，divisor一詞應該是從Dedekind domain的分式理想而來的：比如整數環Z是Dedekind domain，那所有分母為2的有理數可以看作乙個分式理想，那這個2就是對應的「除子」。類似地，復多項式環C［x］也是Dedekind domain，如果考慮所有在指定諸點有至多某階極點或至少某階零點的有理函式，那也是個分式理想，所以這些指定的極點或零點的位置及階數也可以叫做乙個「除子」了。
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