能否通過平移和旋轉改變平面圖形的長度或面積

時間 2021-06-09 13:42:27

1樓:青椒果凍

不能。實際上從你的描述來看,你對分球定理的理解很可能是有問題的。

問題的關鍵不是平移和旋轉,而是「長度或面積」,參考這個問題。

在分球悖論中,乙個球可以被分為有限個不可測的部分,它們經過旋轉和平移可以重組成兩個一樣大球。並不是每個部分的體積在旋轉和平移中改變了,而是每個部分不具有「體積」這個屬性,用現代數學的話來講,就是「不可測」。

「可測」本身就是用來嚴格定義「長度、面積、體積」的東西(具體定義見任何一本測度論或數學專業概率論教材),可測的集合其體積被稱為「測度」。測度被刻意定義成在旋轉和平移下保持不變的東西,但是作為代價,不是所有點集都具有測度,比如分球悖論裡的就不具有。

概率論和勒貝格積分採用了同樣的數學基礎。於是,並不是所有的集合都具有概率,也並不是所有的函式都勒貝格可積。

2樓:cvgmt

如果整體平移或者旋轉平面圖形,那是保持面積與長度。

如果把圖形分割成若干個個不可測的子集,然後把不同部分平移與旋轉,就可以組合成另外兩個。

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