1樓：塵月
定義什麼的當然有的，一直都有的，只不過這種太過集合論色彩的東西太繞太生澀，沒什麼人愛去宣傳，而且這裡面已經沒有多少深究的餘地了。
乙個比較樸素的辦法是：
利用歸納邏輯定義自然數；然後以自然數的形式差定義整數；然後以整數的形式商定義有理數；將有理數集完備化得到實數；複數作為實數在方冪運算上的擴充。
另乙個方法是更常用的，直接利用運算的性質與完備線性域的方式構造實數域，這是現有基礎教材裡喜歡用的，方便簡單一步到胃。
但對於沒有接受過一定量的相關知識和思維訓練的人而言不容易理解。
本質上來說數是一種構造，數集上有一定的良好的運算性質，所以「數」這個概念本質上來說不具有很廣泛的外延。因為對於我們實際遇到的具有一定結構的集合，上面的運算未必有那麼良好。
但就算是數的本身，性質也沒有那麼的好。
從線性結構的角度來看，
實數域是實數域上的一維線性空間；
複數域是實數域上的二維線性空間，但是無法保留線性序；
四元數體是實數域上的四維線性空間，但此時四元數已經不能構成域了，它雖然依舊是乙個整環但不滿足交換律，只能淪落到體；
八元數作為乙個實數域上的八維線性空間，甚至需要捨棄結合律才能得到可除代數，更高維的空間上甚至無法定義可除代數。
而上面說的一到四維這幾個空間其實能夠和實數域上的矩陣空間的子集同構。
所以單純用數去描繪整個概念世界時遠遠不夠的，以集合為基本物件才有更廣的天地。
而如果你想要的廣義的「數」的概念，只是無限地拓寬現有的關於數的概念，以讓它容納更多的問題的話，是沒有必要的，因為拓寬之後很可能只是把集合和元素這批概念換了個樣子而已，沒有什麼新的東西。
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