1樓：Mr.Bo
Time-Optimal Time Scaling：
在路徑 是由任務完全指定的或者由避開障礙的路徑規劃器指定的情況下，路徑規劃問題簡化成了尋找time scaling 的問題，如下圖：
機械人繞開圓盤障礙物的路徑規劃
可以通過選擇time scaling，在滿足時間限制的情況下將能量消耗最小化，或者以任務為驅動，比如防止機械人端著的一杯水濺出來。
最有用的乙個time scaling就是讓沿路徑運動的時間最小，但會受到機械人驅動器的限制。這種time scaling能使機械人的生產效率最大化。
雖然我們上節提到的的梯形time scaling可以產生時間最優軌跡，但僅限於在恆定最大加速度a和最大速度v的直線運動中。對於大多數機械人，要用下式的動力學來描述：
最大速度和加速度是沿路徑變化的，那麼這樣問題就是尋找最短的time scaling 滿足機械人驅動器的約束，這個約束條件寫為：
關節扭矩通常是當前關節速度的函式，例如，對於給定的直流電機的最大電壓，電機的最大轉矩隨電機的速度線性下降。
這裡又需要第八章的知識，有：
這樣,改寫一下 ， ,這樣動力學方程就變成了：
簡化成向量方程，就為：
式中， 當機械人在路徑 上的慣量矩陣， 包含二次速度項， 為重力力矩。
驅動約束方程也可以表示為s的函式：
綜合起來，就有：
設 和 為滿足上式第i個分量的最小和最大加速度 ，就有：
定義：那麼約束條件就變成了：
這樣，time-optimal time-scaling problem就表述為：
給定乙個path ，初狀態 ,末狀態 ，找到乙個單調遞增的二次可微的time scaling ,滿足：
（1） 以及
（2）在滿足約束條件的情況下，使沿路徑的總時間最小
上面的推導也很容易推廣到初速度和末速度非0的情況，即 0" eeimg="1"/>, 0" eeimg="1"/>
上述問題就很容易的在受到路徑約束的機械人的 相平面上視覺化，如下圖：
因為 是單調遞增的， 對於時間t和 均成立，那麼在相平面內的路徑的time scaling就是如上圖所示從 到 的任意曲線，然而，並非所有這些曲線都滿足我們上面推導出的約束條件。
那麼上面推導出的約束條件有什麼用呢？在相平面上的每個點 處，我們都可以畫出約束條件的向量三角形，如果 ，那麼向量三角形就消失了，也意味著機械人無法在這個路徑上運動，這種狀態在下圖中用灰色表示，對於任意的s，都存在乙個極限速度，機械人的運動無法超過極限速度 ,這個函式就叫做速度極限曲線，在速度極限曲線上 ，向量三角形就變成乙個單一向量。
對於滿足約束條件的time scaling曲線，time scaling曲線的切線必須位於曲線上所有點的約束條件的向量三角形內。
下圖展示了乙個不可行的例子，即速度極限曲線的切線並不在約束條件的向量三角形內。
為了達到時間最優的目的，那麼就意味著速度要在滿足各種約束條件的情況下足夠快，因此，將時間寫為：
處理一下：
這樣時間最優就意味著 要在滿足各種約束條件下盡可能小，即 要在滿足各種約束條件下盡可能大。
這就要求 time scaling要在極限值 和 的情況下工作，唯一的選擇就是在這些極限之間切換。
一種常見的解決方法被稱為bang-bang trajectory：先使用最大加速度運動然後轉換至最小加速度運動，利用數值積分的方法，對 從 開始積分， 從 開始積分，找到曲線的交點，那麼轉換的位置就在交點處，如下圖：
在某些情況下，速度極限曲線會使上述方法不可行，這些情況需要乙個演算法來找到多個速度切換點，如下圖：
經過上面的介紹，The Time-Scaling Algorithm就很明了了：
要使時間最優，就要找到速度切換點，讓曲線在 相平面上足夠「高」。
Time-Scaling Algorithm的流程為：
（1）初始化乙個交換集合 和乙個轉換次數計數器 ，讓
（2）在時間上積分 從 後向積分直到 U(s,\dot s)" eeimg="1"/>或者 ，稱其為相平面曲線F。
（3）在時間上積分 從 開始直到穿過相平面曲線F或者，記為相平面曲線 ,如果 穿過F，則 ，當交點出現時，讓為 的值，同時將 記錄進S之中。這是從最大加速度到最大減速的轉換，如果交點的值大於速度極限曲線的值，則用 作為轉換點並進入下一步。
（4）對 中的速度進行二分查詢，找到速度 滿足 從前向積分不超過速度極限曲線。二分查詢的 ， ，步驟為：
（a）令 ，該點記為
（b）如果曲線從測試點穿過速度極限曲線，設定 ，反之，如果測試點的值為 ，就讓 ，返回（a）。
直到二分查詢達到指定的精度，讓 為生成的曲線與速度極限曲線相切(或最接近速度極限曲線)的點
（5） 從後向積分直到和 相交
（6） ，讓為 的值，同時將 記錄進S之中。這是從最大加速度到最大減速的轉換。回到步驟（3）。
演算法步驟如下圖：
上述演算法還可以進行改進，我們可以利用速度極限曲線，即上述演算法的步驟4改為表達出速度極限曲線去尋找滿足條件的點，如下圖：
最後，要強調時間最優演算法的一些假設（這裡的假設實在不好翻譯，就貼原汁原味的英文了）
（1）Static posture maintenance.
（2）Inadmissible states.
（3）Zero-inertia points.
現代機械人學：力學，規劃，控制（chapter9 Ⅱ）軌跡生成之時間最優法
2樓：「已登出」
電機能提供的力矩上限，
如果軌跡上有加速度的點超過力矩，電機會被機械臂的慣性力拉著走，不光產生振動，最後的精度也會受影響。
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