1樓：
令 。我們發現，。
於是，自然地，我們有。
於是，欲求 （迭代 次），只需要求矩陣 的 次冪即可，用二分法可以輕鬆把複雜度從 降低到 。
對於取模的問題，每一步都對向量的每乙個元素取模即可。
2樓：
所以改改快速指數冪的步驟，每一次乘方的時候記得膜***就行了唄至於其他答案說的那道題，原題等價於求遞迴式的值用數學歸納法可以證得
其中或者用逆元算
記得每一步求冪的時候取模
3樓：
如果你問的原題就是Educational Codeforces Round 13的Problem D. Iterated Linear Function
做法：發現從x到f(x)的變換是乙個線性變換，考慮使用矩陣。
一般設計的時候用這樣的形式：
[原始值與輔助數值的行向量] x [變換矩陣（方陣）] = [結果值與輔助數值的行向量]
首先考慮表達出這個變換：f(x)=Ax+B = x*A+1*B
顯然是矩陣乘法中某一行乘某一列的形式
那這樣定下來：
行向量=[x 1]
變換矩陣是2*2的方陣
變換矩陣的第一列為[A B]T
OK，現在考慮變換矩陣的第二列。
我們要考慮到，我們能連續使用這個變換矩陣，使得做一次之後得到f(x)，做兩次（向量x變換矩陣x變換矩陣）能得到f(f(x))。
我們要保證這個向量的第二個值為1不變，這樣才能每次乘這個矩陣的時候執行了Ax+B的變換。
顯然，第二列全為0太不負責任了，我們要把這個1照抄過去。
也就是說，0*x+1*1
完美！所以變換矩陣的第二列為[0 1]T
總結一下，我們有：
然後要幾層f(x)，你就乘幾次這個變換矩陣。
比如現在要f(f(x))，那就：
要一步到位，求n層巢狀，那就利用結合律，先計算這個變換矩陣冪n次，然後再行向量乘變換矩陣。
——看到冪那麼多次，你就應該知道用O(logn)的快速冪了吧？
Done。
（當然矩陣和向量的設計不是只有這一種，還有其他方式，選乙個自己能理解的記住，然後這類題目就變得友好很多很多了。）
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