1樓：
最重要的事情我寫在了開頭：不要成為名詞黨！
不要為了那些所謂高大上的名詞而去學習數學，就像現在有很多人「過早」地去接觸代數幾何，學習GTM52，但是學了之後卻不會算任何乙個具體的例子。
我覺得本科期間還是盡早確定自己喜歡的方向比較好，不要聽別人告訴你的每個數學領域都要去學習，這樣選擇面廣。很多時候當人去尋求中庸時，他往往會變得平庸。
另外還要盡早看英文教材，我是僅僅看過一本國內翻譯過來的線性代數教材，然後沒看過一本國內編寫的教材，都是看英文原版的了。
大一要學數學分析跟線性代數，不要過分地去刷題，因為沒意義，為什麼？比如你數學分析學黎曼積分的時候，後面學實分析，它會告訴你黎曼積分是被淘汰了的(黎曼積分反常積分那一塊不一樣，它比勒貝格積分更普遍。)，Godement在他的Analysis II上面說了，教導黎曼積分只是為了滿足教學需求。
為了更快適應後面分析學的語言，建議盡早看點集拓撲，有了這方面的知識一些證明是非常簡單的。比如證明一致收斂跟積分符號可以交換的命題時，把所有定義在[a,b]上的連續函式看做乙個空間，範數用兩個函式差的最大絕對值，那麼它便是Banach空間，積分是乙個定義在這個空間上的連續函式(事實上它是乙個有界線性運算元)，因此lim ∫ 等於 ∫ lim，這個就是Amann在他寫的Analysis II裡面的解答，跟國內教材比起來不知道簡潔多少倍。
然後線性代數不要沉迷於矩陣技巧，因為矩陣並不是線性代數的本質，它的本質是向量空間跟線性變換，你甚至完全可以從抽象代數角度去看線性代數，因為向量空間只是乙個特殊的模而已。我建議你第一次先快速學完線性代數，然後看抽象代數，接著再看一遍線性代數，第二遍的線性代數其實是模理論了，主要是在主理想環上的模，可以看看Jacobson的抽象代數講義II。對於抽象代數來說，我認為後者的內容跟風格會比我們國內用矩陣來貫穿線性代數更加本質。
另外，泛函其實也不是什麼很高大上的學科，你學完點集拓撲跟線性代數之後就可以看了。我們線性代數主要集中於有限維度向量空間，而泛函集中於無窮維度向量空間。有限維度跟無窮維度下空間差異明顯，比如對任何有限維度空間，它的對偶空間(裡面的元素叫泛函）的維度跟原空間相等，而無窮維度時會更大，緊接著泛函的專業領域是運算元代數，這其實講白了更像是高階的線性代數，只是涉及更多的抽象代數知識。
至於你說的復分析，我估計你是對復分析感興趣了。復分析的學習要結合其他學科，而不要僅僅著眼於這個學科，事實上復分析啟發了後來非常多的學科，比如解析數論，微分幾何等。復分析更為深入的學習我覺得可以看看黎曼曲面，黎曼曲面是最簡單的一種復流形，對它尤其是緊黎曼曲面，我們已經有了較為完備的理論了。
其實，黎曼曲面跟很多幾何學的聯絡是非常深入的，或者說主要是Riemann-Roch定理。至於留數計算之類的技巧內容我個人覺得是不適合過分深入的，因為這方面的東西本身跟後續內容無太大關係。
然後如果要深入代數學習的話，你可以選擇交換代數，同調代數跟表示論，其中表示論其實也適合學完線性代數並且有了抽象代數功底之後看。交換代數跟代數數論、代數幾何聯絡緊密，它的起源跟Hilbert有密切聯絡。可以把交換代數看成是抽象的數論，假如不從幾何觀點出發的化，不過其實交換代數的幾何背景很深，至少高斯證明的代數基本定理便可以歸到交換代數跟幾何的聯絡裡面去，之後的Hilbert零點定理是對代數基本定理的抽象，更是聯絡起了代數跟幾何，算是在學習代數幾何過程中第乙個非常重要的定理。
至於同調代數則是跟代數拓撲有關係。代數拓撲跟點集拓撲沒有太大關係，我們生活中聽到的什麼咖啡杯跟甜甜圈一樣之類的話其實都來自代數拓撲，這個學科主要研究同倫跟同調兩個概念。簡單的說如果乙個函式可以連續變化成另乙個函式，那麼這兩個函式同倫。
同調更多地是想研究空間中的「洞」，比如地上出現了乙個洞，那我們就只能繞道走了，但也有時候你沒法繞道。最開始推動代數拓撲發展的是Green定理，為了處理線積分跟曲面積分的問題。同時再展開也就有了德拉姆上同調(de Rham cohomology)的概念，這是關於微分形式的理論，微分形式一般用在流形裡面，主要是為了代替平時的微分概念，來完成在流形上面的積分。
同調代數最初的啟發來自代數拓撲，但真正的發展是源於人們發現可以用所謂的resolution來得到相應模的資訊，就是從這個模延伸出來的一組具有特殊性質的模來得到原本模的資訊。
然後再提醒你一點不要過分地去尋求技巧，比如數學分析我們國內跟俄羅斯那邊的教材都講了含參變數的積分，但是歐美的教材裡面是不講的(Rudin跟Amann的就沒講)，但是別人可以在講多重積分、線積分的時候講了微分形式，Amann的書上甚至有Poincare Lamma。
就先講這麼多吧，其實還有很多內容是需要學習的，不過具體的選擇要看你個人興趣，比如我個人就對微分方程之類的無感，但事實上國內用偏微分方程來研究微分幾何問題是非常熱門的。具體的書籍需要你自己去尋找了，我就不推薦了，要記住的是適合別人的書不一定就適合自己，比如代數拓撲用Hatcher的書是標配，但我就不喜歡他的書。
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