物體不是剛體時對給定軸的轉動慣量會改變的證明？

1樓：葉落無聲

牛頓第一定律表明了慣性的存在，而牛頓第二定律則定量地刻畫了平動慣性大小的量——質量。

牛頓第二定律表明，（慣性）質量是衡量物體平動慣性大小的量，因此它被稱為「平動慣量」似乎更符合其本質。而轉動慣量，顧名思義，是用來衡量物體轉動慣性的大小的物理量。

控制質點系繞某點（或軸）轉動的規律叫做動量矩定理，即質點系對一點(或一軸)的角動量對時間的導數等於外力系對此點(或此軸)的主矩：

剛體定軸轉動只不過是上述公式在特殊情形的應用：

因為定軸轉動剛體上任意點之間沒有相對運動，所以它們可共用乙個角速度，因此任意一點的速度可表示為，那麼剛體的動量矩

由於是定軸轉動，所以角速度向量垂直於矢徑（注意此時矢徑是點到軸距離方向上的向量），所以，即。可見，剛體轉動慣量是剛體內質點對軸的二次慣性（質量）矩之和。然後應用動量矩定理可得

當物體不是剛體的時候，動量矩定理仍成立，但是定軸轉動公式就不一定成立了。因為此時每個質點繞軸的角速度都不一樣，於是動量矩應寫成

a. 當每個質點的角速度都相同時（即速度與矢徑大小成正比），上面的角速度可提出來，最終結果與剛體情形一樣。故此時雖然質點系不是剛體，但仍然可視為是剛體，即定軸轉動公式仍成立。

b. 當每個質點角速度不再相同，由於都是定軸轉動，故 , 從而有

由此可見，每一點的角加速度都不同，故剛體定軸轉動公式失效。換句話說，質點相對位置發生改變，從而導致剛體意義下的「轉動慣量」時刻在變化。注意，上面的公式都是拉格朗日視角下的，與流體力學中的尤拉視角有所區別。

這裡插一句，在愛因斯坦相對論中引出了「引力質量」的概念，在數值上它與慣性質量是相等的。實際上，這是物體同一本質的兩個方面（慣性與引力性質）的表現。這反應了物體的「一體兩面」特性，恰如光的波粒二象性。

隨著科學的不斷發展，我們將越來越清晰地發現，物理的本質其實是自然哲學（即中國古代所謂的「道」）。在最早，其實是沒有物理這個學科的，它的前身是自然哲學（當然其涵蓋面比物理要更加廣泛）。後來牛頓寫的著作《自然哲學之數學原理》算是一種崇古的做法吧。

如今西方科學家通常擁有的是哲學博士學位（比如霍金）一定程度上反應了這一痕跡的遺留。

所謂哲學博士，是指學位獲得者對其知識範疇中的理論、內容及發展等已具有充分的認識，能獨力進行科研並在該範疇內有學術建樹。因此，在西方，哲學博士基本上可以授予任何學科的博士畢業生。