1樓：
《高等代數》的第一章結尾說，運算的本質是乙個二元函式，它把在同乙個域（環對加減乘封閉，域對加減乘除封閉）內的兩個元素對映到這個域內的第三個元素：
那我們再看看邏輯運算的本質是什麼？
它的自變數和因變數都是布林值，構成了乙個「布林域」，以下用B表示布林域。
因為自變數只有如下4種可能：
並且運算是結果布林值組成的集合，布林值只有兩種，所以運算共有 種。
嚴格來說，非運算不是高代裡面的狹義運算，因為它只是乙個一元函式，但下面的證明會用到它的對稱性。
首先，設結果依次為 ，
顯然任何運算都可以通過對結果取非來反轉結果，從而把運算化簡到8種。
在這裡，可以選擇固定其中的乙個結果，然後把這個結果作為程式的分支，確定是否反轉其它結果，這樣輸出得到的結果序列，以python語言為例：
list=
fori
inrange(4
):list[i
]=bool
(input
())if
list[0
]==True
:foriin
range(1
,4):list[i
]=!list[i
(list
)選定 為反轉基準，可設 ，其餘結果至多只能有3個為真。
顯然，在自變數不相等的情況下可以進行置換，按輸出的結果是否改變可以分為對稱和非對稱兩種情況。
如果輸出結果和自變數的順序無關，則 ，它們同真同假。
如果輸出結果和自變數的順序有關，則 ，由於布林值的特性，它們必定一真一假
無論哪種，排除對稱和非對稱對其造成的影響，都可以視為這兩個結果的組合：
若對稱，則 ，若非對稱，則
然後開始暴力破解
其中 原命題得證。
令 為布林階躍函式，則：
則 ，均可寫為 和若干個布林階躍函式的或，即
所以原命題得證。
我們接著來證明與非運算能表示出所有邏輯運算。
引理1：
證明：若 ，則
若 ，則
引理2：
證明：顯然
引理3：
證明：由與非定義，顯然
正式證明：
構造階躍函式
則任何運算結果都可以表達為
所以原命題得證。
2樓：
不是任何邏輯，是任何經典命題邏輯的 n 元連線詞。
多值邏輯下3個連線詞往往不是完全的，但是不排除在給定特定語義的情況下這三個連線詞恰好能勝任的可能性。
模態邏輯運算元的表達力顯然強於命題邏輯連線詞量詞的表達力顯然強於命題邏輯連線詞
事實上這三個連線詞中後兩個是可以相互定義的。就是。同理……要精簡的話，乙個邏輯連線詞就夠了：與非/或非。
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