1樓：碧水藍天
x-1=y^2①;x+1=z^3②;從①解出x後帶入②得:z^3-y^2=2③，由③可知z、y同為偶數或同為奇數，設z、y同為偶數:z=2m、y=2n(m、n為正整數)，帶入③得8m^3-4n^2=2，即4m^3-2n^2=1，該式左端為兩個偶數之差，結果不可能為奇數!
所以z、y同為奇數;設z=2m-1④，y=2n-1，帶入③式得:z^3-y^2=8m^3-12m^2+6m-1-4n^2+4n-1=2(4m^3-6m^2+3m-2n^2+2n-1)=2，所以4m^3-6m^2-2n^2+2n+3m-1=1，即2(2m^3-3m^2-n^2+n)+3m=2，由此可知m為偶數，設m=2k(k為正整數)，代入④式得z=4k-1⑤，將⑤代入③式得y^2=z^3-2=64k^3-48k^2+12k-3⑥;⑥式右端為平方數，有三種情況:第一種情況2√(64k^3)√(12k-3)=48k^2，此時k=1⑦;第二種情況2√(64k^3-3)√(12k)=48k^2，此時k=(3/16)^(1/3)，此解不合理(k為正整數)，捨去;第三種情況2√(64k^3)√(12k)=48k^2+3，此式左端為偶數右端為奇數，不可能成立;將k=1代入⑤得z=3，將z=3代入③得y=5，將y=5代入①得x=26，所以本題的正整數解只有一組:
x=26、y=5、z=3(畢)。
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