1樓：怕蟑螂
微分方程能求解的真的很少，而且也不會研究任意微分方程，很多我們研究的微分方程都是有故事的，比如細菌增長模型，人口增長模型，震動模型，脅迫震動模型等比如求解麥克斯韋方程組等偏微分方程組變數分離之後的一些形式。而大一微積分裡面的微分方程又是特殊裡的特殊，是可以精確求解的那種。
那怎麼求解呢？基礎知識看書就好了。做題的時候呢，最無腦的辦法就是乙個形式乙個形式的湊。
比如拿到乙個題，先看y和x的關係，是不是乘的關係，如果是而且項數比較少，那可能就是可以分離的。如果y不帶高次冪，那可能就是線性微分方程。如果y是高次，那就查是不是特殊型，比如伯努利型什麼的。
如果題目有提示要換元，那多半是換完之後是上述情況。對於二階可降階模型而言還有比如不含x或者不含y等，一般是設y』=u然後用不同的求導路徑去做，化成上述情況。或者說是一些常見的方程求導結果，xu求導是u+xu』這種。
2樓：GaryGuan
方程叫做一階線性微分方程，因為它對於未知函式及其導數是一次方程. 如果，則方程（1）稱為齊次的；如果，則方程（1）稱為非齊次的.
為了求出非齊次線性方程（1）的解，我們先把換成零而寫成方程
方程（2）叫做對應於非齊次線性方程（1）的齊次線性方程.
齊次方程（2）分離變數後，得
兩端積分，得
或這便是對應的齊次線性方程（2）的通解.
常數變易法：把（2）的通解中的換成的未知函式，作變換
於是將（3）和（4）代入方程（1），得
等號左邊中間兩項抵消掉，得
兩端積分，得
把上式代入（3），便得非齊次線性方程（1）的通解
將（5）式改寫成兩項之和
第一項是對應的齊次線性方程（2）的通解，
第二項是非齊次線性方程（1）的乙個特解（在通解（5）中取便得到這個特解）.
一階非齊次線性方程的通解等於對應的齊次方程的通解與非齊次方程的乙個特解之和.求方程
的通解.
先用分離變數法求對應的齊次方程
的通解.
兩邊求不定積分，得
也即用常數變易法，把換成，即令
則代入所給非齊次方程，得
兩端積分，得
再把上式代入(6)式，即得所求方程的通解為
以上內容來自同濟版《高等數學上冊》教材.
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