1樓：XZQ
函式逼近論依然是有很強生命力的，一方面，函式逼近作為數學中經典的分支和大量不同數學分支有密切關聯，其研究的數值積分，正交多項式，稀疏逼近，樣條函式，兼具理論和實用價值。另一方面，函式逼近與計算調和分析有機結合，從而在數碼訊號中扮演重要角色。機器學習時代，本質上機器學習是對高維函式的逼近方法，函式逼近是機器學習的數學基礎。
2樓：iop
調和分析方面：主要是從Dunkl theory的角度研究調和分析。關於Dunkl theory的動機，一開始是Dunkl研究多變元的正交多項式發明了一種類似於Laplacian的運算元，無意中被後人用來解決了Heckman-Opdam理論發展中乙個大的障礙。
這方面有兩條主線，一條是證明一些Dunkl框架下的調和分析與經典調和分析中類似的結論，調和分析的推廣有很多種，Dunkl框架下的推廣是變化最大的，一條是研究Dunkl operator與經典的partial derivative之間的intertwining operator的性質，目的還是為前者服務。近幾年通過兩種群表示之間的interpolation發展還出來了對Dunkl分析更進一步的推廣，又誕生了一種處於infancy的調和分析。Dunkl theory還可以從代數，Feller過程，CMS系統等方面研究，調和分析只是一方面，這一理論已經發展了30餘年。
函式逼近論方面：研究的問題包括寬度（計算各種寬度的階數）、entropy number（計算各種Sobolev空間的漸近性）、資訊易處理（各種多項式易處理的等價條件）等。計算的階數的等價常數要與維數無關，否則一旦維數較大，計算結果會沒有意義，而隨機框架下由期望定義的寬度就可以用Monte-Carlo演算法打破維數詛咒。
函式逼近論作為基礎數學與計算數學的乙個交叉，很多文章發表在計算數學雜誌上，以初等數學計算為主，涉及到的證明不多，適合不習慣數學證明，對現代數學知之甚少的人，也不需要學多少課程，懂一點兒泛函分析就可以做了。研究中也可以考慮在Dunkl框架下與經典逼近論中類似問題。做函式逼近論的很多還會去做機器學習，大資料，小波分析等。
國內調和分析與函式逼近論方向主要是計算和應用數學這一塊，Dunkl theory這方面幾乎沒有人搞，而國外有很多，李中凱原先是Dunkl分析方面的專家，現在基本上算是離開學術了。我在國內讀研去參加學術會議的時候，經常聽到沒有實際應用價值，沒什麼意義這一類的話，所以想研究純數學就不要留在國內，國內只能適合研究有實際應用的。
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