1樓：junjun
首先，什麼是酉矩陣？
設 是 或 的一組標準正交基，則矩陣 成為酉矩陣
簡而言之，就是酉矩陣中列向量的模都為1，且他們相互正交。而實數域上的酉矩陣稱為正交矩陣。
若 為乙個正交矩陣，則
其中T表示轉置
設 為乙個矩陣，存在乙個正交矩陣 ，使得 ,則稱 可酉對角化。
這裡可以發現，因為 ，所以上式可以寫作
因此， 也可以相似對角化。
我們再回顧一下相似對角化的定義，對於矩陣 ，若存在可逆矩陣 使得 ，則稱 可相似對角化。
對比一下我們可以發現，兩者的區別其實就在於用於「對角化」的這個矩陣。在酉對角化中，這個矩陣需要是乙個酉矩陣。酉矩陣的列向量為一組標準正交基，所以其必然可逆。
而可逆矩陣的列向量之間沒有酉矩陣這麼多限制。因此可以說，酉對角化是一種特殊的相似對角化。
乙個可以酉對角化的矩陣顯然「正規」，可能這就是為什麼我們把可酉對角化的矩陣成為「正規矩陣」的原因吧。
2樓：LZC
回到問題，酉相似對角化是指可以通過乙個酉矩陣U使得「復」矩陣A（「實」矩陣可以看成是一種特殊的「復」矩陣）對角化，本質上還是線性變換在不同基下的矩陣表現形式不相同。進一步說，可以酉對角化的矩陣都是「正規矩陣」。
相似對角化是指可以通過乙個可逆矩陣P使得「復」矩陣A（「實」矩陣可以看成是一種特殊的「復」矩陣）對角化。換句話說，不一定存在酉矩陣能使A對角化，但是可能存在可逆矩陣使A對角化，所以這裡並沒有要求A必須是「正規矩陣」。
另外。對角化之前先考慮乙個問題：線性空間V和數域F是什麼。
實際上，考慮乙個n \times n維的「實」（或「復」）線性空間，在「復」數域和「實」數域下的施行「對角化操作」的表現並不相同。具體來說，對同乙個「實」矩陣 \bm^，在「實數域下」特徵值個數可能少於n個（因為會把含虛數的特徵值捨棄）。
為什麼可以相似對角化但有的題非得正交對角化呢？這兩種分別什麼情況下使用呢？
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