1樓：
我覺得需要乙個暴力解法來湊湊熱鬧(？)
考慮 在零處的泰勒級數，有 。於是
時 \frack" eeimg="1"/>，顯然不小於零； 時驗算即可。
(上面的結果是Wolfram Alpha來的，我才懶得算哈哈哈)
2樓：V1RTUAL
@形瞳 感謝你提供的解決方法！！
借用 @形瞳 的回答的圖：
點向 作垂線交 於點
BD>BH" eeimg="1"/>
根據面積公式：
所以 （這裡的 ,等號當且僅當 時取到，可以當作重要結論記下來了）
所以只要證 \frac" eeimg="1"/>（其中 ）就可以了由：\frac}= \frac" eeimg="1"/>ps：如果要讓上述不等式顯示出美感，還有以下的表達方式（原題給的靈感）：
令 則\frac" eeimg="1"/>
3樓：形瞳
首先命題的條件應該是 且 時
注意 時不等式右側不成立
當 0" eeimg="1"/>時左側的證明題主寫的沒有問題（當然也沒有詳述UェU）
當 時接下來證明不等式右側
證明當 時
注意上面積分中被積函式在 處無定義
當 時接下來要對arctan進行放縮，這裡利用了其幾何意義 ，不知道有沒有方便的放縮公式還請指教
如下圖手畫的將就看下吧
圖中 是直角三角形， 為 上一點,
於是 ，劣弧 的長度數值上等於弧度 大於線段 的長度
即 BD" eeimg="1"/>
設 到 和 的距離分別為 ，有
聯立方程組解得
於是 有
\sqrt}}},x>0" eeimg="1"/>
注意擴充套件的結論有
當且僅當 時
容易知道 0" eeimg="1"/>
回到原式於是有
\sqrt+k^-k} \right)^}}}" eeimg="1"/>
接下來就要證明
兩邊平方做差有
分母大於0，只看分子有
前面的係數大於0，只看後面括號內減號兩邊的兩項分別大於0
於是對這兩項分別平方之後做差有
通分整理得
0" eeimg="1"/>
因此1" eeimg="1"/>
1" eeimg="1"/>
於是\left( \frac+k^} \right)^" eeimg="1"/>
\frac+k^}" eeimg="1"/>
最後\frac+k^}" eeimg="1"/>
綜上所述
證畢補充一下
條件改為且 時 1" eeimg="1"/>命題同樣成立
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