1樓：李杭帆
首先，先反對一下 @雨雪晴 的答案。
不是說這個結論本身有錯。而是，這個結論論證不了複數域「定義」不了實數。這裡有一處很微妙的地方。
簡單來說，定義出來的實數不一定得是複數域的子集。可採取這樣的途徑： 。
但這個 已經不是 的子集了，不會引起矛盾。（你也沒辦法直接對應回 的某個子集，雖然你可以用選擇公理強行挑乙個出來。「強行挑乙個出來」當然超出了域理論的範圍，也是和結論不矛盾的。
）又或者說，「定義 xx 的可定義子集 yy」和「可以基於 xx （公理化地）構造 yy」是兩碼事。
接下來是對 @inversioner 答案的補充。如果我們希望有個「完整版」的複數 ，那麼我們至少要包含連續（或小於 ）的概念（或讓 ）。但是這樣一來就至少隱隱約約地定義了乙個 。
對於這種情況，我們恐怕只能說是：定義複數的同時順便定義了實數。反過來，實數定義裡就不必隱藏著乙個複數的定義。
從這個意義上講，更多的是實數定義了複數。
最後附上系統 C3（基於 Tarski 實數公理化，由 Norman Megill 正式提出，Eric Schmidt 參與了改進）
5.1.3 Real and complex number postulates restated as axioms
他們真的喪心病狂地繞了一整圈兒！（ ）
2樓：楊樹森
這裡我們假設讀者完全明白有理數是如何定義的。僅使用有理數甚至整數，可以定義代數數，注意到代數數已經涵蓋了一部分無理數和虛數。但是採取這種辦法，能把所有的實數或複數都構造出來嗎？
答案是否定的。
從有理數到實數，必須經歷分析的過程。設 是有理數集的子集，滿足 並且則由 確定了唯一的實數 使得
接下來，設 則由 確定了唯一的複數
這大概是定義複數的最簡單的方法。也許你已經有所了解，代數基本定理，即任意復多項式都有復根，沒有簡單的代數證法，這也是因為複數本身就很難用代數定義。
3樓：羥基氧
此實數非彼實數，先用實數I定義了複數，再用複數定義了實數II。
先有實數集I ，然後在 中定義複數四則運算，就有了複數集 .
複數是滿足複數四則運算的實數有序對 ，記作 。
複數的加減法：
複數的乘法：
複數的除法：
然後可以搞乙個對映 ， ，於是有了實數集II ，它與 同構。
所以當我們說 時，其實前面那些數集都是由 定義的，都是從另乙個不是 子集的數集到 的同構對映的值域。
4樓：邪來煩惱風
實數定義了複數。實數自己，是從有理數定義出來的。之所以說虛部為零時相當於實數，是說可以把實數作為複數的子集，從而包含到更廣範圍的複數域中，那麼你之前用的實數就都可以當成複數。
複數域是實數域的擴域。
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