1樓：董唯元
剛好前幾天寫過這方面的東西，順手摘其中一部分來蹭答。
一、關於量子隧穿
關於用wick轉動引入瞬子， @HelloFoucault 的回答已經很清楚了，wick轉動後，可以直接用經典牛頓力學描述量子隧穿過程。我只是幫著補個圖。
二、關於題主關心的聯結量子和統計
可以認為是從兩個算符的對比開始，乙個是量子力學的演化算符，另乙個是統計裡的密度算符。
也就是說，純從數學形式對比，就可以憑感覺時間t和逆溫β之間建立乙個對應關係：
其中k是玻爾茲曼常數。
上面這個對應關係可以把路徑積分和配分函式也聯絡起來。這是因為本來路徑積分就是積一堆不同路徑上的傳播子，而傳播子其實就是各分身的演化，同時配分函式就是密度算符求跡，所以有中間的橋梁之後，兩邊自然就聯絡上了。
本來路徑積分是醬嬸的：
用t=-iτ做wick轉動後，所有複數指數會變成實數指數，於是原來的相位疊加就變成了一堆正實數疊加，這些按指數律分布的正實數對應到統計裡面，就是不同能級上的微觀狀態數，全加起來自然就是配分函式。歸一化的事不用擔心，路徑積分裡那個 能把歸一化的活也幹了。
用路徑積分表述的配分函式是醬嬸的：
這裡需要注意，指數上那一堆被積的東西， ，是原來的拉氏量在wick轉動之後變出來的東西，看著很像哈密頓量但正負號不對，只能姑且當做一種虛時間世界裡的鬼魂能量。
用路徑積分表述配分函式有很多數學處理上的好處，不過更重要的是，通過這個表述，讓虛時間這個維度捲成了一圈。
也就是說，由於週期性邊界條件，跟溫度所對應的那個虛時間τ是個周長為β的閉合環。這個圈結構很有意思，能夠在量子場論裡搞出更多事。最直接的乙個結果就是產生了Matsubara頻率。
因為虛時間τ在有限長度內迴圈，所以粒子就有了一組離散的虛頻率。
對玻色子
對費公尺子
對離散的東西處理起來會更容易，所以wick轉動也被認為是個消維降次的手段，可以把n維的量子問題變成n-1維的熱力學問題。
三、黑洞溫度
利用wick轉動，可以三步搞定黑洞溫度的推算，真的是非常神奇。
第一步是先盤一下史瓦西度規寫的線元表示式
令 ，可以把線元表示式變成
第二步，觀察x與τ的關係，發現這倆描述的是個平直的2D平面，不信就再寫個清爽的 這個樣子對比一下就清楚了。
明白了x-τ平面是平直的， 是如上圖這樣乙個角度，問題也就基本解決了。
第三步 時因為x-τ是平直的，所以仍然得滿足
而虛時間τ是個圈， ，於是得到
剛才偷懶一直用c=1，如果把光速也恢復回來，黑洞溫度是：
2樓：宮非
2020-05-06
物理學中，Wick rotation 是乙個找尋解的方法，將閔可夫斯基空間（Minkowski space）中的問題轉到歐幾里得空間（Euclidean space）中，於其中求解，再逆轉回 Minkowski space 中，所根據的是「解析延拓（analytic continuation）」。它之所以被稱作「rotation」是因為當我們將複數表示成平面時，將一複數乘上i，等於將代表此複數的向量旋轉了 的角度（等價於變換t→it）。
好像上面這幅圖，把時間改寫成虛數，然後在這個虛數時間系統裡找動態系統，再對映回本身的 real time。這個方法本身的根據就是數學理論中解析延拓，原本用來得出1+x+x+x+…… 的數學方法。Wick rotation 有個成功例子是將統計力學（statistical mechanics）與量子力學兩個不同方法，分別代表著巨集觀和微觀世界計算得出的可觀察量給連線起來，譬如像我們將統計力學中有關溫度的 轉換成量子力學中的 這樣。
另外，Wick rotation 成功地鏈結了量子力學與統計力學，舉例來說，Schrdinger equation 與heat equation 可透過Wick rotation 而相關連，雖然仍存在些許差異，例如：統計力學中的 n 點函式滿足正性（positivity），而Wick rotation 下的量子場論（quantum field theory, QFT）則滿足「反射正性（reflection positivity）」。
再者，Stephen William Hawking 在1978 年提出量子場學重力模型（quantum field theory），這個方法在研究量子力學時還用在相對論上，屬於pseudo-Riemannian manifold 的時空，乙個運算上較麻煩的流形，通過 Wick rotation 後會變成Riemannian manifold，乙個相對運算上較容易，屬於物理學和數學家比較熟識的流形。簡單的例子就好像狹義相對論（special relativity）中的4 維Minkowski space 在 Wick rotation 後會變成大家都很熟悉的Euclidean space，只是從3 維變了4 維。歐氏量子重力就是乙個廣義相對論經過Wick rotation，然後再做量子化（quantisation）得出的量子場學重力模型。
比較起來，可以看出Wick rotation 是從單粒子分布函式到單粒子波函式的關鍵。當前的物理學中廣泛使用Wick rotation 和費曼路徑積分，以自由例子的作用量 為例，可以插入路徑積分裡做直接計算，或是暫時把指數函式內i 去掉成比較簡易的理解計算，以後可以用Wick rotation 回到原式。總之，Wick rotation 是量子理論中的乙個計算技巧，其中我們假設能量或時間是純虛的。
我們在給出這些假設的情況下進行計算，這些假設通常定義得更清楚，然後分析性地將結果返回到通常的時間和能量的實際值。
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