1樓：木乙己
就我目前貧瘠的物理知識而言
我覺得經典電磁場理論的建立，也就是從場的存在的基礎概念推導第一對麥克斯韋方程，從電荷守恆推導第二對麥克斯韋方程
這一段推理是真的漂亮
2樓：
很多回答都在說QFT、SR/GR、電動力學，這裡補個熱力學的，不需要複雜的技術，只要給定基本原則，就能在抽象層面推出乙個重要公式 —— Gibbs-Duhem關係。這個推導非常巧妙，具體步驟如下：
考慮熱力學第一定律 ，其中， 是物理系統的內能，
是系統吸收的熱量，與溫度 和熵 滿足如下關係(1)：
是外界對系統做的功，與壓強 和體積 滿足如下關係(2)：
代入第一定律得到：
上式是Gibbs-Duhem關係的一種形式，但如果到這裡就結束了，就談不上什麼巧妙了，畢竟只是基本定律的乙個推論，但精彩的故事才剛剛開始！
考慮乙個物理系統，它的內能 跟熵 和體積 有如下函式關係：
現在，將該系統copy若干份，我們用 來表示份數，由於 、 和 都是廣延量（extensive property），其整體性質是組成整體的各部分的性質之和，容易得到：
可將式子兩邊同時對 做偏導：
由開頭的關係(1)和關係(2)可知，上式右邊的偏導結果分別為 和 ，又因為式子左邊為 ，最終可得：
這是Gibbs-Duhem關係最簡潔的形式，沒有任何微分符號，運用四則運算就能求得物理量！
並且，事情遠遠不止如此！
考慮一堆粒子進入了這個系統，可在第一定律的基礎上得到：
其中 為化學勢， 為微觀粒子數，該系統的函式關係也可擴充為
由於 也是廣延量，同樣的方法可推出該系統的Gibbs-Duhem關係：
同樣相當簡潔！
3樓：葉卡捷琳娜.美琴
看到上面 @量子色動力學 的回答，如果沒記錯是某曾姓老師書上的吧，感覺用更簡單的比較冪次的辦法完全可以做。
還沒學李代數的弱渣表示排列組合挺好玩兒的
4樓：killer147
必須是伽利略推倒自由落體呀。
生活在西元前四世紀的希臘哲學家亞里斯多德憑藉直覺和觀感，闡述了物體下落速度與物體重量成正比的觀點，並影響了人們長達兩千多年。
直到2023年，伽利略在比薩斜塔上做了兩個鐵球同時落地的實驗，糾正了亞里斯多德的錯誤結論。
伽利略在大量的實驗之後發現，無論把何種材料的物體從塔頂滾下來，各個物體都是同時落地，而且不分先後，即下落速度與物體的具體特徵並無關係。
無論木質球還是鐵質球，只要同時從塔上開始下落，他們將同時到達地面。
但自由落體的時間太短，用實驗驗證仍有困難。為了解決這一問題，他讓乙個銅球從阻力很小的斜面上滾下，來增加其下落的時間，減小實驗誤差。他做了上百次的實驗，結果表明光滑斜面的傾角不變，從不同位置讓小球滾下，小球通過的位移與所用時間平方之比是不變的，即小球沿光滑斜面向下的運動是勻變速直線運動。
換用不同質量的小球和不同傾角的斜面去重複上述實驗，仍然可以得到相似的結論。
他將此結果外推，把結論推倒斜面傾角增大到90度的情況，這時小球自由下落，成為自由落體，這時小球仍會保持勻變速運動的性質。
最終，他用著名的斜面實驗輔以合理的外推證明了自己結論的正確性。
但在這裡我想說的是他的理論推理。
他在2023年的新書兩種新科學的對話裡指出，根據亞里斯多德的論斷，一塊大石頭的下落速度要比一塊小石頭的下落速度大。假定大石頭的下落速度為8，小石頭的下落速度為4，當我們把兩塊石頭栓在一起時，下落速度快的會被下落速度慢的拖著而減慢，下落速度慢的會被下落速度快的拖著而加快，結果整個系統的下落速度應該小於8。但是兩塊石頭栓在一起，加起來比大石頭還要重，此時重物體應比輕物體的下落速度還要快。
這樣，就從重物體比輕物體下落的快的假設，推出了重物體比輕物體下落得慢的結論。亞里斯多德的理論陷入了自相矛盾的境地。
而要合理解釋這一現象，只有一種可能那就是重物體和輕物體下落速度一樣快。
簡直男神。
5樓：風遲御
我個人最喜歡的是伽利略當初那個不同質量的物體自由落體下落速度（加速度）一樣的推理。
簡單的不行，甚至都不需要啥數學和物理基礎，只需要一些簡單的常識和邏輯推理即可。
簡單到極致的，普通人看了會發出"對哦！"的推導，在那之前，人們不是沒有得出這個推導的大腦，而是被直覺和"常識"阻斷了思考。
6樓：「已登出」
目前為止，接觸的推導不是很多，不過印象最深刻就是低溫超導bcs理論，整體模型並不複雜，然後利用二次量子化推導，對整個超導形成機理有很清晰地認識。
7樓：夜貓
巧妙算巧妙了，可你想過其中的問題麼？
比如說第二張圖描述的這個光子，是第一張圖的那個光子麼？如果不是，那就成問題了。
也就是說，這是兩個不同的事件，它們所經歷的時間，怎麼能被相對論當成「同一事件」在不同參考係的「原時」和「動時」來對待呢？——一句話，所謂的相對論「時間膨脹說」根本就不成立！
8樓：游泳的鯨魚
麥克斯韋關於氣體粒子速度的統計分布吧，當時學的時候挺震撼的：這他媽也能推導出來！
（關鍵是他對理想氣體的數學抽象很巧妙，怎麼想出來的！！！）
9樓：三尖兩刃刀
伽利略的著名的思想實驗大球小球同時落地，他是這樣想的如果真的是大球先落地，那麼如果有乙個更大的球，他就會更快落地，但是如果把這個更大的球看成是乙個大球乙個小球組成的，後落地的小球就會拖慢大球從而後落地，只有大球小球落地速度是一樣的才能避免這種矛盾的結果
10樓：李行健
講乙個簡單的，就是n個帶正電的導體球，靜電平衡後至少有乙個球處處不帶負電荷。
就是巧妙的選了乙個電勢最高球，乙個電勢最低球，用反證法。假設電勢最高球上若有負電荷，則有電場線指向負電荷。電場線不可能來自自身（導體等勢），不可能來自其他球，只能來自無窮遠。
而另一方面類似有電勢最低球上正電荷發出電場線只能指向無窮遠，則最低球電勢高於最高球，推出矛盾。感覺這裡的反證法與排序特別機智。
高中物競狗乙隻，還望dalao不要覺得我無知。
11樓：
我感覺狹義相對論的所有推導都相當巧妙。
用相對性原理和光速不變原理，推導出狹義相對論的洛倫茲變換公式。再然後是尺縮效應、鐘慢效應、質能方程等公式。
當然最讓我感到神奇的是電磁場協變性的推導。第一次學的時候我的感覺如下：
12樓：「已登出」
配合物軌道中將所有配體各自的軌道先按照對稱性重新組合成群軌道，把所有配體當做乙個整體與中心作用，去分析對稱性匹配。。。這小技巧充分利用了態疊加原理和分子軌道的思想，簡直美如畫
13樓：蟬鳴
樓上舉了很多經典的巧妙證明，我來說乙個小一點的偏數學的推導吧。
費曼貢獻了很多計算的小技巧，比如初量中接觸到的費曼海爾曼定理，這裡我說乙個場論中常用到的費曼引數化（Feynman parametrization）。
它的核心內容很簡單
在場論中這是乙個計算圈積分的小技巧，他通常出現在一圈或者更高圈的費曼圖中。當積分中出現形如 的項時，直接處理會非常麻煩 ，這時候採用費曼引數化然後交換積分會有出其不意的效果。通常量子場論書中介紹這個方式是從電子自能問題開始。
量子電動力學剛發展的時候，人們考慮自相互作用（即具有動量P的電子發射乙個具有動量K的虛光子，然後被電子重新吸收）時發現電子質量是改變的，改變量由乙個很複雜的積分描述。由於虛光子的動量可以從0到無窮，所以這個積分是發散的。
為了處理這個積分物理學界用了超過二十年的時間，最後解決就是利用費曼的方法，這個過程很複雜，以後有機會再說。最近遇到利用費曼引數化的方法是在pi介子的質量問題中。
在考慮軸向量Ward-Takahashi 恒等式時，處理積分
在手徵極限下 ,我們有
這是乙個重要的結論。關於費曼還有很多巧妙的小技巧，下次有空再更
14樓：草合月中
我來說個初級的，費曼講義上對動量守恆的證明(針對碰撞後粘在一起的特殊case)，從不同慣性系下(非相對論情況)物理定律形式不變這個原理出發推導的。十幾年前看到的那個證明時真的感到非常非常Excited。
大致思路如下：
CASE1：
兩個質量m的物體A和B，以相同大小的速度v迎面相撞後貼到一起，因為兩個物體相撞前動量具有對稱性，因此它們相撞後共同速度不可能偏向於任何一方，只能為0，碰撞後總動量守恆。
CASE2：
還是兩個質量m的物體A和B，A以速度v相對觀察者1運動，B靜止，相撞後共同運動。
此時有另乙個觀察者2另乙個相對於B以速度v運動，則在新參考係中，A的運動速度為v/2，B的運動速度為-v/2，則問題又化為了CASE1，碰撞後AB一起相對於觀察者2靜止，也就是相對於觀察者1一起以速度v/2運動。
此時相對於觀察者1而言，碰撞後總動量m*v，守恆。
CASE3：
還是兩個質量m的物體A和B，A以速度v_A相對觀察者1運動，B以速度v_B相對觀察者1運動，相撞後共同運動。
此時有另乙個觀察者2與B以同樣的速度運動(也就是B相對於觀察者2靜止)，則問題又化為了CASE2，於是得出碰撞後A與B相對觀察者2以(v_A-v_B)/2運動，進一步得出相對觀察者1以(v_A+v_B)/2運動。
此時相對於觀察者1而言，碰撞後總動量m*(v_A+v_B)/2，守恆。
CASE4：
不同質量不同速度相撞的CASE，但是現在我想睡覺了，明天繼續寫吧……
15樓：Dr.Apple
由麥克斯韋方程組推導出平面波的波動方程，有種蜜汁快感，尤其是幾個deata的各種叉乘點乘，有種化繁為簡的大道在裡面。
從經典力學的角度，對哈密頓量從時間上和空間上分別作用，從而推導出薛丁格方程，也是特別過癮。（經典與量子，where is the bound？）
HOM干涉中，同時到達BS的兩個光子竟然會選擇。。。同時從乙個口出去！這兩個光子估計是好上了。（雞賊的光子！）
16樓：
統計物理僅用熱一熱二，設乙個函式湊乙個全微分就能證乙個結論，尤其是證明玻爾茲曼分布係數為1/kT的那一步操作令人振奮。
熱力學裡好多證明都好神奇。比如從一句「卡諾熱機效率最高」一路推得「1/T是dQ的積分因子」。還有各種反證。
還有就是朗道說明相對論下歐氏幾何不成立時舉的圓盤轉起來後周長與半徑之比不為2π的例子。
你所經歷的最巧合的事情是什麼樣的？
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