1樓：雲風破渣式
兩個數相等是什麼意思呢？
我們的高等數學書用ε-δ語言告訴咱們，當在數軸上兩個數的距離為零，它倆之間沒有空隙，再也插不進去任何數時，我們認為這兩個數相等。
2樓：G.Yu
從點集拓撲的觀點來看， 和 都有自洽性(consistency)，其中 來自標準拓撲，而 來自離散拓撲，其中
. 有何區別呢？顯然有 , 稍進一步就有 ，不僅如此， 比 大得多：
\aleph_1= \text(\mathbb) \]" eeimg="1"/>.
這裡的 是集合的勢(cardinality)，等號按集合等勢理解。無論在哪一種拓撲結構下， 都是度量空間(存在滿足三角不等式的度量)，也都是向量空間(對有限個元素的加法和乘法封閉)，其中用到的度量可以(不唯一)是
目前為止，標準拓撲和離散拓撲還沒有本質區別，因為以上的性質(三角不等式和加乘封閉性)還只是針對有限個元素，並未觸及 中的(可數)無限迴圈。而這兩個拓撲的重大區別就在於離散拓撲中的柯西序列最終只能是常數(eventually constant)，或者說只包含有限多個實數。複習一下柯西序列 在度量空間 中的定義:
0, \exists N\in\mathbb \text \forall m>n>N, d(x_n, x_m)<\epsilon." eeimg="1"/>
可見當度量是 而不是 的時候，只要取 就總存在正整數 使得 , 因此這個柯西數列最多只有 個不同元素。於是在離散拓撲下，如果按部分和 來定義 , 那麼取 就能發現
n\in\mathbb, d_d(s_n, s_m) =1>\epsilon=0.5," eeimg="1"/>
說明 甚至都不能構成柯西序列，自然不收斂，也得不到 , 也可以記作 . 更一般地，等比數列 也不能求和(除非 ). 除此之外還有很多離散拓撲與標準拓撲不相容的性質：
標準拓撲(standard topology)
離散拓撲(discrete topology)
柯西序列可含可數無窮多個不同實數
柯西序列僅含有限多個不同實數
任意開覆蓋都有可數子覆蓋(是Lindelf空間)
(不成立)
有界閉集為緊集(Heine–Borel)
(不成立) 只有空集和有限集才是緊集
存在可數稠密子集(例如有理數集)
(不成立) 稠密子集僅有實數集本身
公比|q|<1的無窮等比數列可求和
(不成立) 除非公比q=0，首項即為和
開區間(a, b)是連通集
(不成立) 只有空集和單元素集才連通
實數集可被可數無窮多個緊集覆蓋
(不成立)
可形成巴拿赫空間(存在範數，例如絕對值)
(不成立)
當然，離散拓撲還是可以相容一些代數性質的，例如域性質(加法逆元，乘法逆元，交換律)，也可以相容度量空間的拓撲性質，但是其他的拓撲性質會非常奇怪，比如開區間 並不連通(而且充滿孔洞)。
事實上，不相容(但自洽)的公理體系之間無法從乙個公理體系反駁另乙個公理體系(類似歐幾里德幾何不能反駁非歐幾何，非歐幾何也不能反駁歐氏幾何)。比如你提到閉區間套定理證明 , 其實已經預設了用標準拓撲來論證，而在離散拓撲下，根本沒有符合條件的閉區間套，比如與 和 1相關的閉區間有 , 我們來試幾個閉區間套
注意第3行閉區間 的長度/直徑對所有 總是為1，不符合閉區間套定理條件，其他閉區間套的交集如果也包含 的話直徑也是1，不會向0收縮，如果交集僅包含 和1其中乙個，那就推不出與另乙個相等。也就是說，無論從標準拓撲的哪條公理/定理出發(包括閉區間套定理，戴德金分割)，都不能推出【與離散拓撲構成矛盾】。
所以，爭論 的本質在於實數集上的拓撲到底用標準拓撲還是用離散拓撲。用離散拓撲可以獲得 (至少不產生矛盾)，但是失去了研究可數無窮個不同實數構成數列的能力，並且還附帶了諸多造成不便的性質(開區間都不連通，函式定義域取實數的離散拓撲則任意函式都連續)，與標準拓撲帶來的實數性質相比，可以說用離散拓撲不能使實數集構成好用的拓撲空間，因此棄之不用。從離散拓撲的視角來看，也可以說是標準拓撲捨棄了大量的開集換來諸多好用的性質，使其成為數學分析的基石。
更極端的做法是在標準拓撲的基礎上捨棄更多的開集，使得標準拓撲下不相等的數也相等，比如平凡拓撲把整個實數集看成不可分割的整體，於是不光有 ，還有 ， 甚至還有一切實數皆相等。也就是說兩個不同實數能不能劃等號還要看用了什麼拓撲結構。
只不過由於 的「出現」過於頻繁，每次都提及太麻煩，反而成了隱含條件/共識，不再被提及。但其他拓撲沒有這個待遇，如果要用必須明確提及。
3樓：十萬丶伏特
我認為爭論的核心在於你認不認可當今的數學公理化體系，如果你認可，那麼0.9迴圈就是嚴格等於1，你要不認可，或者說不知道數學公理化體系，那麼你就會產生疑問，對於無窮以及極限，在當今數學體系裡面都有嚴格的定義，並沒有什麼好爭論的。
本質上小數就是有理數的一種表示方法罷了，真正的有理數定義是存在整數p,q，且q≠0，那麼p/q就是有理數。用分數表示的有理數不會有什麼迴圈的問題，所以為什麼到了初中數學裡就很少用小數了，小數多是近似表示數的一種方法，比如在數學用表裡面。不僅小數，到了中學連帶分數也不用了。
4樓：MAN
大多數人並不明白爭論的本質。本質是潛無窮與實無窮兩種不同的無窮觀的必然爭論。實無窮下，必然相等，潛無窮下，必然不等。
遺憾的是，堅持某種觀點的一方，只認為對方是錯誤的，但並不清楚對方的觀點是不同立場使然。
5樓：芋圓公式
本人覺得 更像是乙個不斷增加的過程量，而之前的證明多是當做了乙個具體數。
贊同問題描述中的這句話的前半句（因為後半句並沒有去考證），因為 進製中並不存在某一位之後全是 的數，這個爭論也就沒有了意義。下面是證明，完全是照搬《數學分析》[1]：
Archimedes 原理：如果 是任意乙個固定的正數，那麼，對於任何實數 ，必能找到唯一的整數 ，使得 。
引理：如果固定數 1" eeimg="1"/>，那麼，對於任何正數 ，必有唯一的整數 ，使得 。
固定 1" eeimg="1"/>，取任意正數 ，根據引理有唯一整數 ，使得 。
定義：滿足上式的整數 稱為數 關於記數法的基 的階或（當把 固定時）簡稱為數 的階。
根據 Archimedes 原理，存在唯一的自然數 ，使得 。可以推知 。重複利用 Archimedes 原理，可知存在 ，使得 。
重複以上的步驟，假設已經得到了 ，那麼根據 Archimedes 原理，可以求得 ，使得 。
於是每個數 與有理數 的序列 對應，用符號 表示序列。此外約定：當 時，在 後放置小數點；當 時，在 前補寫 個 ，並在最左邊 後放置小數點。例如當 時，
假設 相應的序列從某一項開始的 均為 ，即 k" eeimg="1"/>時有 ，整理有 。由 ，可知對任意的 k" eeimg="1"/>，成立 ，即 。根據引理，這是不可能的，故假設不成立。
6樓：
作為乙個知乎日經問題，0.9999...到底是不是1其實早有許多大佬答主們給出了詳盡的回答。
我們再贅述這些就顯得過於無聊，因此我們可以換個更加有趣的角度：我們看看假如真的0.999...
不等於1了之後會發生什麼。先下結論：如果0.
9999...不等於1，那麼實數集（作為拓撲空間）將會變成康托爾集（在同胚意義下）。所以你這麼看的話0.
999...不等於1就明顯不靠譜，因為它會讓實數變的支離破碎，不符合我們對實數是一條連續的線的直覺。
而且，鮮為人所知的是數學上還真有乙個域，它裡面有無限小數定義的序結構，並且裡面類似0.9999...的東西就是不等於1，而且它還真的作為拓撲空間同胚於康托爾集，這個域就是p-adic域Qp，某種意義上它就是滿足我們上面腦洞大開的假設的乙個活生生的例子，因此通過觀察它的很多奇妙而反常的現象也可以更加加深我們對0.
9999...一定等於1的相信。
先挖個坑，有空再來細說。
7樓：看書的迷糊
對於這個問題我思考了很久！
大多都是給出一種結論等於或者不等於！
那麼我綜合大家的觀點來看！
在某種情況下是相等的，在某種情況下是無法比較的！
1是正整數，確定的數字，能在數軸上表示確定的位置。
0.999迴圈，無窮多個9的迴圈，沒有確定的數字，只能在數軸上表示近似的位置！那麼離得最近的點就是0.999迴圈加乙個無窮小量，等於1！
那麼把0.999迴圈放到數軸上的乙個點，等於1，不把0.999迴圈放到數軸上，兩個數不相等！
如果認為我說得沒道理，你們都是對的！畢竟我就是提出乙個大膽的想法罷了！
8樓：挖洞的simon
有些東西是很淺顯的道理。
什麼是極限，極限就是無限接近卻不可能達到。極限的使用很久就存在了，而極限的定義是很久之後才被提出的，並不斷完善。歷史上有過一次數學危機，貌似就是因為微積分，最後是柯西用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善。
這件事可以很明顯的顯示出定義的本質，定義只需要自洽即可。之所以說這些，是想說我們現有的所有科學體系都是自圓其說的體系，這一點在數學物理上體現的更為明顯。宇宙的規律我們是否全部都能掌握，至少現在不能，我們只能掌握區域性的規律，從一管而窺全貌，區域性規律運用到全宇宙是否是正確的，誰也不敢肯定。
我們的所謂科學，並不需要分辨對與錯，他們只需要在自有的邏輯體系內自洽即可，藉此解決現實中的問題，甚至解決不了也無關緊要。這和宗教本質上並沒有太大區別。
數學同樣也是如此，0.999迴圈等於1在現實是不可能存在的，你找不出0.999迴圈這種東西，0.
999迴圈也永遠不可能等於1。而數學並不一定必須反映現實，既然0.999迴圈和1如此接近，誤差如此小的情況下，為了方便，就自然而然當做1看待，這也很理所當然。
以極限為基礎，在極限這個基石上數學進行了不斷的前進和發展。而前面那麼多答主的推理證明其實並無必要，用數學的體系去證明數學的體系，永遠是正確的，因為他們本身就是融合自洽的，不然早就被證偽推翻了，有分歧的也不會讓大眾去學習。我以前學數學就很困惑，究竟什麼是定義，後來我明白了，定義說白了就是人為規定的東西，他不是一種宇宙的終極規律，它不需要分辨對錯，它只需要在自己的體系裡自洽即可。
0.999迴圈等於1，在極限，在數學這個大家族裡就是正確的，是絕對正確的，也是可以用推理得出的。
但是，回過頭來，數學能代表一切嗎？現今的數學就是宇宙的絕對規律嗎，永遠不會更改嗎。顯然不是。
在極限體系中，0.9999迴圈等於1是正確的，它在自己的體系裡完美自洽。但是某些人卻狂妄把它跟現實等同起來，認為0.
99迴圈等於1就是無可置疑的，是宇宙的絕對規則。這才是這個問題爭論的核心。
我雖然對數學不怎麼精通，但不妨礙我理解這個問題。
所以最後總得來說，0.999迴圈等於1在數學極限這個體系是絕對正確的。但你脫離了這個體系，並不能把它強加到現實中。
所以大家論證來論證去實在是很蠢的事情，無非就是用數學證明數學，終究是在這個框架中的，有什麼意義呢。人家直接否定你，0.999迴圈就是不能1，你又能怎麼樣，有本事跳出數學這個體系來解釋啊，你能在化學物理各種學科還有現實中都證明嗎。
這就跟傳教的人一樣，你身為馬克思主義者，直接對他說，神是假的，有本事在現實證明啊。傳教的人強行讓你信教，又不能證真，還老有優越感，說你智商低，啥都不懂，這種人真的好煩啊，實際上不懂的正是這些人。我們的科學也就像乙個宗教，他們能夠掌握一些區域性的宇宙規律，可以讓我們生活的更好，我們就都願意相信科學，覺得是無可置疑的，實際上我們掌握的知識在基礎的很大一部分，既不能證真也不能證偽，只是通過現實觀察總結，人為規定的東西，就像以前的原子不可再分，只不過是在自己的體系自洽而已，只要自洽就可以接受，如此而已。
如何看待EST11 9凌晨1點Trump大廈川普勝選演講？
個人覺得有些人的翻譯真的是太能潤色了。其實你看了英文版就知道，真的英語四級都是誇他。不過，人家這就是裝的，為了像個泥腿子拉選票！一分錢不花啊！從頭裝到尾！ yyyyy 太讚！trump這個speech和去年的presidential announcement speech跟三次debate完全不同水...
如何看待大疆1月11日上架的DJI FPV 飛行眼鏡 V2，與上一代相差多少，實際體驗如何？
武子 DJI FPV 飛行眼鏡 V2是DJI FPV 飛行眼鏡的公升級版，外觀與上一代基本完全相同。沒有內建電池，使用 7.4V 17.6V 之間的外接電池供電，功耗約 7W。除了此前的 5.8GHz 數字圖傳之外，還增添了 2.4GHz 頻率的支援。大疆舊版 FPV 飛行眼鏡單眼解析度為 1440...
如何看待19年1卷作文題關於勞動的看法
黒金 題主對於勞動的理解有問題.勞動指的不是說什麼都要你自己做,都自己做了社會分工為的什麼呢?再說了人會自己做飯,會自己種糧食嗎?生活在這個社會上,乙個人不可能不依賴社會分工體系,不可能說我全部都能自己勞動.勞動指的是你在社會分工體系裡的貢獻.包括腦力勞動.作文題鄙視的是 我們學習這麼忙，勞動太佔時...